एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n\geq 2$ भाजक के साथ $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, साबित करो $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$

Aug 18 2020

आईएमओ 2002 पी 4 लेट $n\geq 2$ विभाजकों के साथ एक सकारात्मक पूर्णांक बनें $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$। साबित करो$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ हमेशा से कम है $n^2$, और निर्धारित करें कि यह कब का विभाजन है $n^2$

मैं इस सवाल की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन मैं विचारों से भाग रहा हूं, क्या कोई संकेत या सुझाव दे सकता है? कृपया, मुझे समाधान दिए बिना।

मैं इस तथ्य का उपयोग करने की कोशिश कर रहा हूं कि किस उत्पाद का $d_i$*$d_{i+1}$ का एक भाजक है $n^2$ (और वे सभी अलग-अलग हैं) और शायद भाजक के योग के लिए सूत्र का उपयोग करने की कोशिश करते हैं यह देखने के लिए कि क्या यह विशिष्ट योग से कम है $n^2$

जवाब

4 ErickWong Aug 18 2020 at 18:04

संकेत 1: कितना बड़ा हो सकता है $d_{k-1}$ के एक समारोह के रूप में हो $n$? व्हाट अबाउट$d_{k-2}$?

संकेत 2: चलो $p$ सबसे छोटा प्रमुख कारक हो $n$। आप किस बारे में कह सकते हैं$d_{k-1}$ के अनुसार $n,p$? का सबसे बड़ा (उचित) विभाजक क्या है$n^2$?

4 ShubhrajitBhattacharya Aug 18 2020 at 18:15

जबसे $d$ का एक भाजक है $n$ यदि और केवल यदि $n/d$ है, हमारे पास है $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ छोड़ दिया [\ text {के बाद से $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\सही]$}$$

दूसरे भाग के लिए, चलो $n$ समग्र बनो और $p$ सबसे छोटा प्रमुख कारक हो $n$। तो हमारे पास हैं$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ अब अगर $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ का एक भाजक है $n$ तो हमारे पास होना चाहिए $\frac{n^2}{N}\mid n^2$। परंतु$p>\frac{n^2}{N}$ एक विरोधाभास है $p$ का सबसे छोटा प्रधान विभाजक है $n^2$। इसलिए$N\mid n^2$ यदि और केवल यदि $n$ एक प्रमुख है।