एक समारोह खोजें $f$ ऐसा है कि $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ मौजूद है, लेकिन $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$नहीं करता। [डुप्लिकेट]

Question

प्रसंग:

मैं कुछ विश्लेषण पर ब्रश कर रहा हूं और वर्तमान में एम। स्पिवक की कैलकुलस पुस्तक में अभ्यास कर रहा हूं, विशेष रूप से सीमा पर अध्याय 5। इस सवाल के सामने आने तक सब कुछ ठीक चल रहा था। मैं कुछ समय से इसके बारे में सोच रहा हूं, बिना किसी भाग्य के।

प्रश्न: “एक उदाहरण दीजिए जहाँ$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ मौजूद है, लेकिन $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ नहीं करता।"

मेरे प्रयास:

एक पिछले प्रश्न से पता चला है कि $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, जो मुझे विश्वास है कि काम करता है क्योंकि हम किसी भी वास्तविक संख्या की तीसरी जड़ पा सकते हैं (जो एप्सिलॉन में उपयोगी था - इसके लिए डेल्टा प्रमाण)। जो मुझे विश्वास दिलाता है कि उपरोक्त विफल हो जाता है क्योंकि हम नकारात्मक वास्तविक को वर्ग नहीं कर सकते हैं। यह मुझे शामिल कार्यों के साथ खेलने के लिए ले जाता है$\sqrt{x}$ और नकारात्मक पर इसकी 'अपरिभ्यता' का उपयोग।

मैंने साथ शुरू किया $f(x)=\sqrt{x-1}$ जिसमें स्पष्ट रूप से एक अपरिभाषित सीमा है $0$। लेकिन यह निश्चित रूप से अलग नहीं है (पर सीमा को देखते हुए$0$ यह इसके लिए है $f(x^2)$।

कोई संकेत? मुझे लगता है जैसे मैं कुछ बहुत सरल देख रहा हूँ।

Answer 1

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

Answer 2

मैं एक और उदाहरण के साथ आया था, हालांकि हेगन वॉन एटिजन की प्रतिक्रिया देखने के बाद।

हम चुन सकते हैं $f(x)=\text{floor}(x)$।