एक समारोह की अवधि कब जारी है?
एक समारोह पर विचार करें $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$, कहां है $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$अनंत में लुप्त हो रहे निरंतर कार्यों के स्थान को दर्शाता है । मुझे इसमें दिलचस्पी है$T$-periodisation इस तरह के एक समारोह के रूप में परिभाषित किया:$$f_{T}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(t-nT),\quad \forall t\in \mathbb{R}.$$जैसा कि फिशर में बताया गया है - असतत और आवधिक कार्यों के द्वंद्व पर ,$f_{T}$ एक है $T$-एयरपॉइडिक टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन अगर$f$एक तेजी से क्षय होने वाला कार्य है - जो किसी भी बहुपद की तुलना में तेजी से अनंत में गायब हो रहा है।
मेरा प्रश्न नियमितता की चिंता करता है $f_T$:
किन कार्यों के लिए $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ आवधिक सामान्यीकृत कार्य है $f_{T}$एक सामान्य, निरंतर कार्य के ऊपर परिभाषित किया गया है ?
दूसरे शब्दों में, मान्यताओं पर क्या होना चाहिए $f$ ताकि इसकी अवधि निरंतर हो?
किसी भी नेतृत्व की बहुत सराहना की जाएगी। अग्रिम बहुत बहुत धन्यवाद!
जवाब
आपको बस इतना चाहिए $f$कॉम्पैक्ट सेट पर समान रूप से श्रृंखला बनाने के लिए तेजी से घट जाती है। उदाहरण के लिए, यह पर्याप्त होगा$|x|^p |f(x)|$ कुछ के लिए बाध्य है $p>1$। फिर आप कॉम्पैक्ट अंतराल पर समान रूप से श्रृंखला की शर्तों का अनुमान लगा सकते हैं$[-a,a]$ के लिये $nT>2a$ द्वारा द्वारा $cn^{-p}$ एक स्थिर के साथ $c$।
संक्षिप्त उत्तर : श्वार्ट्ज फ़ंक्शन के लिए ।
लंबे उत्तर : "आवधिक" का फूरियर रूपांतरण "असतत" है और "असतत" का फूरियर रूपांतरण "आवधिक" है। यह एक-से-एक मैपिंग है। यह इस फिशर में समझाया गया है - असतत और आवधिक कार्यों के द्वंद्व पर ।
आमतौर पर, "नियमित" का फूरियर रूपांतरण "स्थानीय" है और "स्थानीय" का फूरियर रूपांतरण "नियमित" है। यह एक और एक से एक मानचित्रण है। इसे फिशर में समझाया गया है - नियमित और स्थानीय कार्यों के द्वंद्व पर ।
शब्द "नियमित" साधारण, असीम रूप से भिन्न कार्यों को संदर्भित करता है जो बहुपद की तुलना में तेजी से नहीं बढ़ता है। ये (नियमित) कार्य तथाकथित वितरण के लिए तथाकथित गुणा संचालक हैं। किसी भी टेम्पर्ड वितरण के साथ उनका गुणन उत्पाद फिर से एक टेम्पर्ड वितरण है।
शब्द "स्थानीय" टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन को संदर्भित करता है जो "स्थानीय" हैं, अर्थात, वे तेजी से शून्य (पॉलिनेरियल की तुलना में तेजी से) क्षय करते हैं। ये (सामान्यीकृत) कार्य तथाकथित वितरण ऑपरेटरों के लिए टेम्पर्ड वितरण हैं। किसी भी टेम्पर्ड वितरण के साथ उनका कनवल्शन उत्पाद फिर से एक टेम्पर्ड वितरण है।
"नियमित" और "स्थानीय" के गुण टेम्पर्ड वितरण पर एक प्रमेय प्रमेय को पूरा करते हैं ।
अब, "आवधिक", "असतत", "नियमित" और "स्थानीय" के गुणों को जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, "स्थानीय + नियमित" श्वार्ट्ज़ फ़ंक्शंस और श्वार्ट्ज़ फ़ंक्शंस के फूरियर रूपांतरण हैं, फिर से, श्वार्ट्ज़ फ़ंक्शंस ("स्थानीय + नियमित")। इसके अलावा, "असतत आवधिक" का फूरियर रूपांतरण फिर से "असतत आवधिक" है। यह असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) का उत्पादन करता है ।
अब, सामान्यीकृत कार्यों के लिए पूर्व शर्त जो समयबद्ध हो सकती है, वे "स्थानीय" हैं और सामान्यीकृत कार्यों के लिए पूर्व शर्त यह है कि उन्हें "नियमित" किया जा सकता है।
इसलिए, मूल प्रश्न पर वापस , एक (साधारण या सामान्यीकृत) फ़ंक्शन को आवधिक बनाने के लिए, इसे "स्थानीय" होना चाहिए और इसे एक सामान्य कार्य करने की अनुमति देने के लिए इसे "नियमित" होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, श्वार्ट्ज फ़ंक्शन इन दो आवश्यकताओं को पूरा करते हैं , वे "नियमित + स्थानीय" हैं।
श्वार्ट्ज कार्यों की यह संपत्ति "नियमित" और "स्थानीय" एक साथ होने के कारण वितरण सिद्धांत और क्वांटिटी भौतिकी में परीक्षण कार्यों के रूप में उनकी विशेष भूमिका बताती है ।
हालांकि, सामान्य और सामान्यीकृत कार्यों में "सुचारू" होने का अंतर है। एक को याद किया जा सकता है, प्रत्येक सामान्यीकृत फ़ंक्शन सुचारू रूप से (असीम रूप से भिन्न) है और इसलिए, "निरंतर"। सामान्यीकृत फ़ंक्शंस सिद्धांत में एम्बेडेड साधारण फ़ंक्शंस अर्थ में इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, श्वार्ट्ज़ फ़ंक्शंस के पास अधिक फ़ंक्शन हैं। आयताकार समारोह , उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत कार्यों अर्थ में चिकनी लेकिन साधारण कार्यों अर्थ में चिकनी नहीं है। इसकी अवधि, हालांकि, उस फ़ंक्शन को पैदावार देती है जो कि उपयुक्त T के लिए लगातार 1 है जो एक चिकनी, साधारण फ़ंक्शन (विशेष रूप से निरंतर) है। तो, जाहिर है, ऐसे कार्य जो एक अंतराल [-T / 2, + T / 2] पर जारी हैं और ऐसे f (-T / २) = f (+ T / २) भी आवश्यकता को पूरा करते हैं।