एक सतत कार्य $f:\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\to[-1,1]$ और पर अलग है $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$।

Question

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$\blacksquare~$ समस्या: मान लीजिए एक सतत कार्य$f:\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\to[-1,1]$ और पर अलग है $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$। फिर, एक बिंदु मौजूद है$x_0\in \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ ऐसा है कि $$|f'(x_0)|\leqslant 1+f(x_0)^2$$

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$\blacksquare~$ माई सॉल्यूशन: ले आइए$g(x) = \tan^{-1} f(x) $। फिर$g : \left[ - \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \to \left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right] $।

नहीं था $f$ में प्रतियोगिता है $\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$ और में अलग $\left(- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right)$, $g$ यह भी वही है।

LMVT द्वारा, हमारे पास वह है

$$\frac{g\left(\frac{\pi}{4}\right) - g\left(-\frac{\pi}{4} \right) }{\frac{\pi}{2}} = g'(x_0) \quad \text{for some } x_0 \in \left(- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right)$$$$\implies \frac{ \frac{\pi}{4} - \left(- \frac{\pi}{4}\right) }{ \frac{\pi}{2} } \geqslant \frac{g\left(\frac{\pi}{4}\right) - g\left(-\frac{\pi}{4} \right) }{\frac{\pi}{2}} = \left(\tan^{-1}f(x_0) \right)' = \frac{f'(x_0)}{1 + f(x_0)^2} $$$$ \implies 1 + f(x_0)^2 \geqslant f'(x_0) $$फिर, LMVT भाग के बाद, हमारे पास वह है $$ \implies \frac{ - \frac{\pi}{4} - \left( \frac{\pi}{4}\right) }{ \frac{\pi}{2} } \leqslant \frac{g\left(\frac{\pi}{4}\right) - g\left(-\frac{\pi}{4} \right) }{\frac{\pi}{2}} = \left(\tan^{-1}f(x_0) \right)' = \frac{f'(x_0)}{1 + f(x_0)^2} $$$$ \implies - \left( 1 + f(x_0)^2 \right) \leqslant f'(x_0) $$इसलिए, इन दोनों को मिलाकर हमारे पास वह है$$ \lvert f'(x_0) \rvert \leqslant 1 + f(x_0)^2 \quad \text{for some } x_0 \in \left( - \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right) $$

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क्या यह ठीक है? क्या कोई गड़बड़ है? समाधान का एक और तरीका बहुत अच्छा होगा!

सादर, राल्फ

Answer 1

आपका समाधान ठीक है, आप बस एक कदम थोड़ा सा अनुकरण कर सकते हैं: आप भीख से लिख सकते हैं $\left\vert \frac{g\left(\frac{\pi}{4}\right) - g\left(-\frac{\pi}{4} \right) }{\frac{\pi}{2}}\right\vert = \vert g'(x_0)\vert \quad \text{for some } x_0 \in \left(- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right)$ तो आप तुरंत मिल सकते हैं

$\vert g'(x_0)\vert \le 1$।