एक तर्क निष्कर्ष: $\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \end{matrix}}{\therefore p\implies r} $ सत्य तालिकाओं का उपयोग किए बिना

Aug 18 2020

निम्नलिखित अनुमान की वैधता साबित करें (सत्य तालिकाओं का उपयोग न करें):

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \end{matrix}}{\therefore p\implies r} $$ मैंने एक सत्य सारणी तैयार की है जिससे पता चलता है कि प्रस्ताव: $((p\implies q) \land (q\implies r)) \implies (p\implies r)$एक टेओटोलॉजी है, लेकिन परिणाम दिखाने के लिए तर्क के अनुमान नियमों का उपयोग करके परिसर में हेरफेर करने में सफल नहीं था।
कृपया कुछ सलाह दें।

जवाब

7 GrahamKemp Aug 19 2020 at 01:51

अलग-अलग संकेतन का उपयोग करते हुए-अनुक्रम गणना - हम निम्नलिखित प्राकृतिक कटौती प्रूफ ट्री का विरोध कर सकते हैं:

$$\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{}{p\vdash p}{\tiny\textsf{ID}}~\dfrac{}{p\to q\vdash p\to q}{\tiny\textsf{ID}}}{p,p\to q\vdash q}{\tiny{\to}\mathsf E}~\dfrac{}{q\to r\vdash q\to r}{\tiny\textsf{ID}}}{p,p\to q,q\to r\vdash r}{\tiny{\to}\mathsf E}}{p\to q,q\to r\vdash p\to r}{\tiny{\to}\mathsf I}$$

इस प्रकार हम निष्कर्ष निकालते हैं कि अनुमान वैध है: $$\left\lvert\!\begin{split} &p\to q\\&q\to r\\\hline &p\to r\end{split}\right.$$

उपयोग किए गए नियम- जहां $\Gamma, \Delta$हैं सूचियों बयान की, और$\varphi, \psi$ एकल कथन हैं:

$\textsf{ID}$: पहचान (या धारणा) $\qquad\begin{split}~\\\hline\Gamma,\varphi&\vdash\varphi\end{split}$

यदि आप इसे एक अतिरिक्त (संभवतः खाली) मान्यताओं की सूची के साथ ग्रहण करते हैं, तो आप एक बयान प्राप्त कर सकते हैं।
${\to}\mathsf E$: सशर्त उन्मूलन: $\qquad\begin{split}\Gamma&\vdash\varphi\\\Delta&\vdash \varphi\to \psi\\\hline\Gamma\cup\Delta&\vdash \psi\end{split}$

यदि एक सशर्त विवरणों की एक सूची से व्युत्पन्न किया जा सकता है, और इसके पूर्ववर्ती को किसी अन्य सूची से प्राप्त किया जा सकता है, तो हम अनुमान लगा सकते हैं कि परिणाम सूचियों के संघ से प्राप्त किया जा सकता है।
${\to}\mathsf I$: सशर्त परिचय: $\qquad\begin{split}\Gamma,\varphi&\vdash \psi\\\hline\Gamma&\vdash\varphi\to\psi\end{split}$

यदि किसी परिणाम को एक पूर्ववृत्त सहित बयानों की सूची से प्राप्त किया जा सकता है, तो हम अनुमान लगा सकते हैं कि संबंधित सशर्त सूची से प्राप्त किया जा सकता है।

यह निष्कर्ष एक धारणा का निर्वहन करने का एक उदाहरण है । एक प्रमाण के अंत में, सभी मान्यताओं, परिसर के लिए बचत, को ठीक से छुट्टी देने की आवश्यकता होती है।

यहां हमने तीन निष्कर्षों को मान लिया है , दो परिसर हमारे निष्कर्ष के पूर्ववर्ती के अलावा। हम परिणामी रूप से हमारी व्युत्पत्ति करने के बाद उस तीसरी धारणा का निर्वहन करते हैं।

6 rain1 Aug 18 2020 at 20:11

हम साबित करना चाहते हैं

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \end{matrix}}{p\implies r}$$

संदर्भ में p का परिचय दें:

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \\ p \end{matrix}}{r}$$

एक साथ रखा $p\implies q$ तथा $p$ तर्क द्वारा निकालना $q$:

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \\ p \\ q \end{matrix}}{r}$$

एक साथ रखा $q\implies r$ तथा $q$ तर्क द्वारा निकालना $r$:

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \\ p \\ q \\ r \end{matrix}}{r}$$

QED

4 mrtaurho Aug 18 2020 at 20:16

टोटोलॉजी का इस्तेमाल करें $$(p\implies q)\implies((q\implies r)\implies(p\implies r))$$इसके बजाय और दिए गए परिसर के साथ मोडस पोंन्स को दो बार लागू करें। वैकल्पिक रूप से, टॉटोलॉजी का उपयोग करें$$\varphi\implies(\psi\implies (\varphi\land\psi))$$ समाप्त करने के लिए $$\frac{\begin{matrix} \varphi \\ \psi\end{matrix}}{(\varphi\land\psi)} $$ और फिर आपके द्वारा दी गई सूचना का उपयोग करें $$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \end{matrix}}{ p\implies r} $$

संपूर्णता के लिए: दिए गए परिसर में उपर्युक्त शब्दावलियाँ शामिल हैं

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \\ (p\implies q)\implies((q\implies r)\implies(p\implies r)) \end{matrix}}{(q\implies r)\implies(p\implies r)}$$

और फिर

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \\ (p\implies q)\implies((q\implies r)\implies(p\implies r))\\ (q\implies r)\implies(p\implies r) \end{matrix}}{p\implies r}$$

जो सबूत को पूरा करता है। वैकल्पिक के लिए पहले दिए गए नियम का उपयोग करें

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \end{matrix}}{( p\implies q)\land(q\implies r)}$$

और फिर हमारे पास मौजूद दूसरी टॉटोलॉजी का उपयोग करके

$$\frac{\begin{matrix} p\implies q \\ q\implies r \\( p\implies q)\land(q\implies r)\\ (( p\implies q)\land(q\implies r))\implies (p\implies r) \end{matrix}}{p\implies r}$$

2 fleablood Aug 18 2020 at 20:40

दो बार और स्थिति परिचय मोडस पोन्सन का उपयोग करें:

$p\implies q$ तथा $p$ माध्यम $q$ सच है (पहला उपयोग)। $q\implies r$ तथा $q$ सही अर्थ है $r$सच हैं। (दूसरा उपयोग)। तो दिया$p \implies q$ तथा $q\implies r$ तब सशर्त परिचय द्वारा $p$ सच्चा साधन है $r$सच हैं। इसलिए$p\implies r$।

ठीक है मुझे लगता है कि मुझे मिल गया:

यदि हम संकेतन लेते हैं $\phi\vdash \psi$ मतलब "हम मानने वाले थे $\phi$ हम प्राप्त कर सकते हैं $\psi$ फिर:

$p\implies q$ (दिया हुआ)

$p \implies r$ (Qiven)

$p\vdash p$ (कुछ मानना कुछ मान लेना है। $\mu\vdash \mu$ हमेशा सच है क्योंकि अगर हम मानते हैं $\mu$ हम प्राप्त कर सकते हैं $\mu$... क्योंकि हम मानते हैं कि यह सच है। यह कहना है कि हम इसे दावा कर रहे हैं नहीं है है सच ( "प्रारंभिक परिसर में रहने" के बारे में टिप्पणी में अपने दावे के रूप में मतलब यदि आपको लगता है); यह एक काल्पनिक के तहत कहना है अगर यह सच था हम प्राप्त कर सकते हैं। निश्चित रूप से अगर यह सच नहीं है तो जो हम प्राप्त करते हैं वह फिर से नहीं होगा।]

$p\vdash p\implies q$ ($p\implies q$ एक सच है कि क्या हम मान लेते हैं $p$या नहीं। हर सच्चे कथन के लिए$T$ फिर $\mu\vdash T$हमेशा सच रहेगा। और मुझे लगता है$\mu\vdash F$ हमेशा झूठ होगा।)

$p\vdash q$ (एक वैध, सरल तर्क और निष्कर्ष के नियम के रूप)

$p\vdash q\to r$ ($q\implies r$ एक सच है कि क्या हम मान लेते हैं $p$ या नहीं)

$p\vdash r$ (एक वैध, सरल तर्क और निष्कर्ष के नियम के रूप)

$p\implies r$ (सशर्त परिचय;)

(यह एक बुनियादी नियम है। अंग्रेजी में, यदि मान लिया जाए $\mu$ हम प्राप्त कर सकते हैं $\psi$ फिर $\mu \implies \psi$ सच होना चाहिए।)

2 Maurocurto Aug 18 2020 at 21:19

यहां प्राकृतिक कटौती नियमों का उपयोग करते हुए एक प्रमाण दिया गया है: