एक तत्व के साथ कोई क्षेत्र क्यों नहीं है? [डुप्लिकेट]

Question

यह यहाँ पूछा गया है, लेकिन उत्तर के रूप में चिह्नित किया गया है और मुझे ऐसा नहीं लगता कि प्रश्न का उत्तर कभी दिया गया था, या कम से कम मेरे लिए स्पष्ट नहीं था।

मुझे समझ नहीं आता कि सेट में केवल तत्व क्यों होता है $\{0\}$ हमेशा की तरह $+$ तथा $×$ मानदंडों को संतुष्ट नहीं करता है, क्योंकि $0$ योगात्मक और गुणात्मक पहचान दोनों के रूप में कार्य करता है।

वह है, देना $G = \{0\}$, तब फिर

• $∀ g ∈ G, 0+g = g$ तथा

• $∀ g ∈ G, 0·g = g$ (जबसे $0·0 = 0$ )

इसी तरह, यह अपने स्वयं के additive और गुणात्मक व्युत्क्रम दोनों है। केवल क्षेत्र स्तर पर क्या समस्या है, यह इच्छा के बिना श्रेणी सिद्धांत या बीजगणितीय / अंकगणितीय ज्यामिति के लिए कुछ अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करता है?

Answer 1

तो, चलो समीक्षा करें: $(F,+,\cdot,0,1)$ एक क्षेत्र है अगर

• $(F,+,0)$ एक एबेलियन समूह है
• $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ एक एबेलियन समूह है

क्या होता है जब $0 = 1$ तथा $F$उस तत्व से युक्त सिंगलटन है? तो बाद की विशेषता संतुष्ट नहीं है, के लिए$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$अभी तक सभी समूह धारणा से गैर-रिक्त हैं। (अर्थात्, समूह के स्वयंसिद्ध का मतलब है कि इसमें एक तत्व का अस्तित्व, पहचान तत्व है, इसलिए एक समूह हमेशा गैर-रिक्त होता है।)

Answer 2

चलो $K := \{0\}$। फिर$K \setminus \{0\}$ एक गुणक समूह नहीं हो सकता है, क्योंकि इसमें कोई पहचान तत्व शामिल नहीं है।