एक वेज उत्पाद के अंदर बाहरी अंतर / व्युत्पन्न
मान्यताओं : चलो$M$ चिकना होना $m$-मानव। (यदि आवश्यक हो: चलो$M$उन्मुख हो और फिर उन्मुख हो। लश्कर$M$कॉम्पैक्ट बनो। लश्कर$(M,g)$ रीमैनियन कई गुना हो।)
लश्कर $\Omega^jM$ चिकनी का सेट हो $k$पर सुधार $M$, के लिये $j=0, 1, ..., m$। लश्कर$d_j: \Omega^jM \to \Omega^{j+1}M$ बाहरी अंतर / व्युत्पन्न होना $\Omega^jM$ (पर आधारित $d: \Omega(M) \to \Omega(M)$, साथ से $\Omega(M)$ $:= \bigoplus_{j=0}^{m} \Omega^jM$) का है।
लश्कर $k \in \{0, 1, ..., m\}$। लश्कर$(\alpha, \gamma) \in \Omega^kM \times \Omega^{m-(k+1)}M$।
अवलोकन :
- $d_k \alpha \wedge \gamma$ एक चिकनी शीर्ष रूप है (उर्फ चिकनी $m$-प्रपत्र)
- $(-1)^{1+k^2} \alpha \wedge d_{m-(k+1)}\gamma$ एक चिकनी शीर्ष रूप है (उर्फ चिकनी $m$-प्रपत्र)
प्रश्न 1 : उपरोक्त टिप्पणियों को सही मानते हुए, क्या वे समान हैं?
प्रश्न 2 : सामान्य तौर पर, हम केवल वेज उत्पादों के माध्यम से बाहरी अंतर / व्युत्पन्न को स्थानांतरित कर सकते हैं और बस गुणा कर सकते हैं$(-1)^{\text{something}}$?
प्रश्न 3 : उपरोक्त किसी भी चीज़ में, क्या हम किसी अतिरिक्त चीज़ पर विचार कर रहे हैं$M$ ओरिएंटेबल / ओरिएंटेड / कॉम्पैक्ट / रिअमानियन की तरह?
प्रश्न 4 : यदि प्रश्न 1 पर नहीं है, तो प्रत्येक 2 रूपों में से कम से कम समान अभिन्न हैं, अर्थात जब हम प्लग में आते हैं तो वे मूल्य मिलते हैं।$\int_M$बराबर हैं? यहाँ, अब हम मानते हैं$M$ उन्मुख है और फिर उन्मुख है और मैं कॉम्पैक्ट अनुमान लगाता हूं (अन्यथा मुझे लगता है कि हमें यह मान लेना होगा कि रूपों में कॉम्पैक्ट समर्थन या कुछ है)।
संदर्भ : यह हॉज अपघटन प्रमेय के लिए अग्रणी कुछ परिभाषाओं और प्रस्तावों से आता है, जिसमें हॉज स्टार ऑपरेटर की परिभाषा भी शामिल है, लेकिन मैं यह देखने की कोशिश कर रहा हूं कि क्या मैं गैर-हॉज भागों को सही ढंग से समझता हूं। ()$\gamma$ वास्तव में कुछ की छवि है $\beta \in \Omega^{k+1}M$ हॉज-स्टार ऑपरेटर के तहत।)
जवाब
यहाँ एक उत्तर का प्रयास है।
प्रश्न 1 जैसी समानता की आवश्यकता नहीं है। जो सच है वह है$$ d\left(\alpha\wedge \gamma \right) = d\alpha \wedge \gamma + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d\gamma $$
और अपनी समानता को सच मान लेने से धारणा बन जाएगी $d(\alpha\wedge\gamma)$
यहाँ एक ठोस प्रति-उदाहरण दिया गया है: \begin{align} \alpha &= dx^1 & \gamma = x^2dx^3\wedge\cdots\wedge dx^n \\ d\alpha \wedge \gamma &= 0 & \alpha \wedge d\gamma = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align}
प्रश्न 2 उत्तर नहीं है। ऊपर देखो।
प्रश्न 3 ऊपर, गणना स्थानीय हैं, इसलिए यह कॉम्पैक्टनेस या ओरिएंटेबिलिटी पर निर्भर नहीं करता है: एक चार्ट के बाहर शून्य से काउंटरएक्सप्लिमेंट का विस्तार करें।
प्रश्न 4 उत्तर अभी भी नहीं है: ऊपर के प्रतिवाद में,$d\alpha\wedge \gamma = 0$, इस प्रकार शून्य अभिन्न है, लेकिन $\alpha\wedge d\gamma$ ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड पर वॉल्यूम फॉर्म है, इसमें नॉन-जीरो इंटीग्रल है।
@ JanBohr के उत्तर के बारे में, (जो दो स्व-रेफरिंग उत्तरों की ओर जाता है), मुझे उस मामले में जोड़ना होगा $M$ उन्मुख है, तो स्टोक्स प्रमेय कहते हैं कि $$ \int_M d(\alpha\wedge \gamma) = \int_{\partial M} \alpha\wedge \beta $$ और इस तरह, $$ \int_M d\alpha \wedge \gamma = (-1)^{\deg \alpha+1}\int_{M}\alpha\wedge d\gamma + \int_{\partial M}\alpha\wedge \gamma $$ और इस तरह (साइन अप करने के लिए) जल्द से जल्द एक समानता है $M$ कोई सीमा नहीं है या $\alpha\wedge \gamma$ पर शून्य है $\partial M$।
बाहरी अंतर के परिभाषित गुणों में से एक है लीबनिज नियम $$d(\alpha\wedge \gamma)=d\alpha\wedge \gamma+(-1)^{k} \alpha\wedge d\gamma,$$ कहां है $k$ की डिग्री है $\alpha$, उदाहरण के लिए विकिपीडिया पर देखें । यह मनमाने ढंग से चिकनी मैनिफोल्ड्स के लिए सही है, रिअमानियन मीट्रिक या ओरिएंटेशन की कोई आवश्यकता नहीं है। जैसा$k$ तथा $k^2$ समान समानता है, पिछले प्रदर्शन में दाहिने हाथ की तरफ आपके दोनों के बीच बिल्कुल अंतर है $m$-फॉर्म। विशेष रूप से वे समान iff हैं$\alpha \wedge \gamma$बन्द है। दोनों पर अभिन्न$m$-फॉर्म, कहो तो $M$ उन्मुख और कॉम्पैक्ट है, सिर्फ इसलिए कि स्टोक्स के प्रमेय द्वारा एक सटीक रूप का अभिन्न शून्य है।
प्रश्न 4 के लिए @ DIdier_ के प्रतिरूप के बारे में: यह एक ऐसी स्थिति है जिसमें स्टोक्स के प्रमेय में सीमा अभिन्नता गायब नहीं होती है (किसी भी सहज डोमेन के लिए) $\mathbb{R}^n$) का है। ऊपर मैं यह मानकर इस समस्या से बचता हूँ$M$सीमाहीन होना। एक और तरीका है कि मान लिया जाए$\alpha $ तथा $\gamma$ इंटीरियर में कॉम्पैक्ट सपोर्ट है।