एकीकरण की दिशा बदलना

Question

मुझे अभिन्न की दिशा बदलने की जरूरत है:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

जो मुझे पता है, उससे मुझे सबसे पहले आकृतियों को खोजने की जरूरत है:

$0.5y^2 = x$ तथा $\sqrt{3-y^2} =x$

आकार I एक परवल है: $y^2 = 2x$
आकार II एक चक्र है $x^2 + y^2 = 3$ (त्रिज्या का) $\sqrt{3}$)

इसलिए हम मूल रूप से परबोला से सर्कल तक क्षैतिज तीर बनाते हैं $0 \leq y \leq 1$।

कुछ ऐसा जो इस तस्वीर से मिलता जुलता है:

हमें खड़ी रेखाएँ खींचने की ज़रूरत है, इसलिए ऐसा दिखता है, लेकिन हमारे पास 3 क्षेत्र हैं:

1. हम परबोला (लाल) मारा
2. जहां हमने लाइन मारा $y=1$ (हरा)
3. जहां हमने सर्कल (नीला) मारा

और इसलिए मेरा अंतिम उत्तर है:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

क्या मैं अभी तक सही हूँ? अगर मैं नहीं हूं, तो मैं इसे कैसे ठीक करूं? मुझे लगता है कि मुझे पता नहीं है कि कैसे चलते रहना है ... मैं आपकी मदद की सराहना करूंगा! धन्यवाद!

Answer 1

आपने जो किया वह सही है। आप कर चुके हैं।

आपके काम की जाँच, $y=1$ एक दूसरे को काटना $0.5y^2=x$ पर $x=0.5$। (यह नारंगी क्षेत्र से मेल खाती है।$0.5y^2=x$ के बराबर है $y=\sqrt{2x}$ कब $y>0$।

इसके अलावा, $y=1$ एक दूसरे को काटना $\sqrt{3-y^2}=x$ पर $x=\sqrt2$। $\sqrt{3-y^2}=x$ के समतुल्य है $y=\sqrt{3-x^2}$ कब $y>0$।

निचली सीमा हमेशा होती है $y=0$।

आप इसे कॉम्पैक्ट रूप से भी व्यक्त कर सकते हैं

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

आगे का मूल्यांकन इसके विस्तार पर निर्भर करता है $f$। अभिन्न के क्रम के परिवर्तन के प्रदर्शन की संभावित प्रेरणा में से एक यह है कि$f$ एक निश्चित क्रम में एकीकृत करना आसान है।

टिप्पणी: आपकी साम्यवादीता के आधार पर, कुछ इसे लिखते हैं

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$