$f$ निरंतर iff है $G(f)$ मीट्रिक रिक्त स्थान में एक बंद सेट है [डुप्लिकेट]
का ग्राफ $f$ है $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$
$X$ तथा $Y$ मीट्रिक रिक्त स्थान हैं। $Y$ कॉम्पैक्ट है।
$f$ निरंतर iff है $G(f)$ एक बंद सेट है।
मुझे यहाँ सबसे करीबी उत्तर मिला, लेकिन मैंने पहले खुद से कोशिश की और एक बिंदु पर अटक गया और मुझे उस विशेष स्थिति पर मदद की ज़रूरत है जो मुझे कहीं और नहीं मिली / /
$\Rightarrow$ भाग: चलो $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ का एक अभिसरण क्रम हो $G(f)$। अगर$(x,y)$इसकी सीमा है। हमें वह दिखाना होगा$y=f(x)$ दूसरे शब्दों में $(x,y)\in G_f$।
$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[की निरंतरता से $f$] $\Rightarrow f(x)=y$मर्यादा की विशिष्टता से। इसलिये$G_f$ बंद हो गया है।
$\Leftarrow$ भाग: चलो $x\in X$ तथा $(x_n)$ सीमा के साथ एक अभिसरण अनुक्रम $x$। आपको यह साबित करना होगा$(f(x_n))$ में अभिसरण है $Y$ सीमा के साथ $f(x)$। मैंने सीक्वेंस का इस्तेमाल किया है$z_n=(x_n,f(x_n))$ तथा $G_f$ कॉम्पैक्ट स्पेस में बंद है $Y$ और इसलिए $G_f$कॉम्पैक्ट है। फिर बाद में है$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$। फिर हमारे पास होगा$y=f(x)$ लेकिन मैं यह कैसे साबित करूं $f(x_n) \to f(x)$? यह सच है कि हर बाद का$f(x_n)$ के बाद एक अभिसरण है $f(x)$।
जवाब
टिप्पणी से मुझे मेरा उत्तर मिल गया जो इस लेम्मा से आता है:
लेम्मा लेट$Y$ एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस और हो $(y_n)$ एक अनुक्रम जिसकी शर्तें हैं $Y$। यदि प्रत्येक अभिसरण के बाद$(y_n)$उसी सीमा में परिवर्तित हो जाता है$\ell\in Y$, तब फिर $(y_n)$ के लिए अभिसरण करता है $\ell$।
सबूत इसके विपरीत मान लीजिए। फिर, वहाँ मौजूद है$\epsilon>0$, ऐसा है कि :
$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$
यह हमें बाद में निर्माण करने की अनुमति देता है $(y_{n_k})$ ऐसा है कि :
$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$
अब से निकालें $(y_{n_k})$ एक अभिसरण परवर्ती: इसकी सीमा $\ell$ परिकल्पना से और इसलिए हम प्राप्त करते हैं $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...
एक विरोधाभास!
अब कोई इस उत्तर को बंद कर सकता है लेकिन मैं इसे अपने रिकॉर्ड में रख सकता हूं और यदि कोई इस तरह आगे बढ़ेगा। उन्हें इससे मदद मिलेगी। मैंने सवाल पूछा क्योंकि मैं उन स्पष्ट तरीकों में से एक की जाँच कर रहा था जो हमारे दिमाग में आ सकते हैं। आपका बहुत बहुत धन्यवाद!