$G_2$ एक अनुमानित स्थान के आइसोमेट्रीज के समूह के रूप में

Question

ऐसा लगता है कि सरल जटिल झूठ बीजगणित के वर्गीकरण में, प्रत्येक झूठ बीजगणित एक प्रक्षेपवक्र अंतरिक्ष के सममिति के समूह से मेल खाता है। SO (n + 1) isometries का समूह है$RP^n$, एसयू (एन + 1) की समरूपता है $CP^n$, और एसपी (एन + 1) की समरूपता है $HP^n$।

जॉन Baez ऑक्टोनियन पर अपने पाठ्यक्रम में बताते हैं कि असाधारण झूठ समूह ऑक्टोनियन के बाहर निर्मित प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान के लिए आइसोमेट्रीज़ समूह हैं, जैसा कि लाई अलजेब्रा के मैजिक स्क्वायर में देखा गया है 1

$G_2$इस विवरण से बचा हुआ एकमात्र असाधारण झूठ समूह है, और आमतौर पर इसे ओक्टोनियन लोगों के समूह के रूप में वर्णित किया जाता है, जो अच्छा है, लेकिन पैटर्न के अनुसार ऐसा लगता है कि यह कुछ कई गुना के समरूपता का समूह होना चाहिए। क्या यह जाना जाता है कि यह कई गुना होगा?

Answer 1

एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है, लेकिन एक पूर्ण जवाब नहीं:

के रूप में एक प्रसिद्ध अहसास है $G_2$ 3 बार इसकी त्रिज्या के साथ 'एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने' के समरूपता समूह के रूप में।

मैं वास्तव में नहीं जानता कि इसका क्या मतलब है, लेकिन जब भी आप दो गेंदों के सभी संभव विन्यासों के एक समझदार पैरामीरिजेशन का आविष्कार करते हैं, तो अपने आप को यह समझाना मुश्किल नहीं है कि उसकी चीज में कई गुना की संरचना है। शायद यह कई गुना है$G_2$समरूपता। दूसरी तरफ, यह सिर्फ दो गेंदों को छूना है। अगर किसी तरह से रोलिंग की धारणा अधिक गंभीर भूमिका निभाती है तो यह कम स्पष्ट है कि क्या और कैसे कहानी को कई गुना सुधार किया जा सकता है।

लेकिन गूगल के लिए एक अच्छी शुरुआत होगी '$G_2$ रोलिंग बॉल 'या समान और देखें कि क्या बदल जाता है।

EDIT: यह उद्धरण विकिपीडिया (पृष्ठ का पृष्ठ) से लिया गया है $G_2$) यह काफी हद तक स्पष्ट है:

1893 में, anlie Cartan ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया $\mathbb{C}^5$ 2-आयामी वितरण से सुसज्जित है - जो कि स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का एक सुस्पष्ट रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लेय बीजगणित $\mathfrak{g}_{2}$असीम समरूपता के रूप में प्रकट होता है। [२] उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने उसी चीज़ पर ध्यान दिया। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण दूसरी गेंद पर एक गेंद के लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग गेंद के विन्यास का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण होता है जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसल या मुड़ने के बिना रोल करता है।