गैर-नकारात्मक स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के लिए संभावना असमानता
मान लीजिए $X_i$, $i \in \mathbb{N}$ के साथ स्वतंत्र बाइनरी यादृच्छिक चर हैं $P(X_i = 1) = p_i = 1-P(X_i = 0)$ और परिभाषित करते हैं $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$। मैं साबित करना चाहता हूं कि हर के लिए$x > 0$, हमारे पास है $$P(S_n \ge x) \leq \left(\frac{\mu e}{x}\right)^x $$
मैं इसके लिए कर सकता हूं $x \in (0,1]$ यह देखते हुए कि फ़ंक्शन $f(y) \equiv y^x, y \ge 0$ के लिए अवतल है $x$ इस सीमा में, इसलिए हमारे पास है $$P(S_n \ge x) \leq P(eS_n \ge x) \leq P(e^x S_n^x \ge x^x) \leq \frac{e^x E(S_n^x)}{x^x}\leq \frac{e^x E(S_n)^x}{x^x} = \left(\frac{\mu e}{x} \right)^x $$
जहां हम अंतिम असमानता प्राप्त करने के लिए जेनसन की असमानता को लागू करते हैं। मैं इस अधिकार को पाने की कोशिश करने के बारे में खो गया हूं$x > 1$। हम जेन्सेन को फिर से लागू नहीं कर सकते क्योंकि फ़ंक्शन$f(y)$ अब उत्तल है $x \in (1, \infty)$इसलिए हमें पूरी तरह से एक अलग रणनीति की जरूरत है। मुझे यकीन नहीं है कि यह सही विचार है, लेकिन हम संभावना के लिए एक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं$$P(S_n \ge x) = \sum_{J \subseteq \{1, ... n\}, |J| \ge x} \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \not \in J} (1-p_i) $$मैं हालांकि इससे कुछ भी फलदायी नहीं देख सकता। कोई भी सहायताकाफी प्रशंसनीय होगी!
जवाब
मान लीजिए $x > \mu$, क्योंकि $x \le \mu$, तो दाहिने हाथ की ओर से बड़ा है $1$।
मैं बर्नस्टीन की असमानता के प्रमाण का पालन करता हूं: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_inequalities_(probability_theory)
किसी के लिए $ \theta > 0$, हमारे पास है $$ P(S \ge x) = P(\exp(\theta(S-x)) \ge 1) \le E(\exp(\theta(S-x))) = e^{-\theta x} \prod_k E(\exp(\theta X_k)) .$$ अभी $$ E(\exp(\theta X_k)) = 1-p_k + p_k e^{\theta} \le \exp((e^{\theta} - 1) p_k ) .$$ इसलिए $$ P(S \ge x) \le \exp(-\theta x + (e^\theta -1) \mu ) \le \exp(-\theta x + e^\theta \mu ) .$$ सेट $\theta = \log (x/\mu)$।