गैर-वैकल्पिक गाँठ आरेख

Question

एक बंद, आत्म-प्रतिच्छेदन वक्र से प्रारंभ करें, जहां प्रत्येक क्रॉसिंग अनुप्रस्थ है। अब एक वैकल्पिक गाँठ आरेख के विपरीत कुछ इस प्रकार बनाएं। कहीं से भी शुरू करते हुए, वक्र को पार करें, और पहले से न देखे गए प्रत्येक क्रॉसिंग पर, ऊपर/ऊपर जाएं। यदि क्रॉसिंग का पहले दौरा किया गया है, तो असाइन किए गए क्रॉसिंग पदनाम को छोड़ दें।

नीचे दो उदाहरण दिखाए गए हैं। (ए) स्पष्ट रूप से अनजान है। (बी) भी अनजान है, शायद स्पष्ट रूप से नहीं।

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^{लाल वृत्त प्रारंभिक बिंदु को इंगित करता है, ट्रैवर्सल दिशा को तीर।}

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मुझे उम्मीद थी कि ये आरेख स्पष्ट रूप से अनजान का प्रतिनिधित्व करेंगे, लेकिन मुझे कोई स्पष्ट प्रमाण नहीं दिख रहा है। इसलिए:

क्यू । साबित करें (या अस्वीकृत करें) कि ऐसा गाँठ आरेख हमेशा अननॉट का प्रतिनिधित्व करता है।

Answer 1

आपके द्वारा वर्णित आरेख को अवरोही आरेख कहा जाता है , और वास्तव में हमेशा तुच्छ गाँठ का परिणाम होता है। प्रमाण के लिए, लेम्मा 3.2.10 देखेंhttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. पिछले उत्तर में सही विचार है।

Answer 2

यह हमेशा अनजान है। मुझे मेरे सलाहकार ने इसका परिचय दिया था लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह मूल रूप से उनका तर्क भी है, इसलिए मुझे नहीं पता कि यह पहले किसने किया था।

इसे देखने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि एक गाँठ का सेतु संख्या एक है यदि गाँठ एक गाँठ नहीं है।

गाँठ का अपना प्रक्षेपण ड्रा करें और अपना प्रारंभिक बिंदु चुनें। जब हम प्रोजेक्शन को पार करेंगे तो हम केवल ओवर क्रॉसिंग बनाकर इस प्रोजेक्शन को डायग्राम में बनाएंगे। यदि प्रक्षेपण में खींचा गया है$x,y$ विमान जहां $z=0$, हम एक गाँठ बना सकते हैं $\mathbb{R}^3$ हर बनाकर $i$-नया क्रॉसिंग हम स्तर पर आते हैं $z=i$. इस प्रकार, जब हम प्रक्षेपण में प्रत्येक क्रॉसिंग से मिले हैं और पहले क्रॉसिंग क्रॉसिंग पर वापस आने वाले हैं, तो 3-स्पेस में हमारी गाँठ किसी उच्च से वापस गिरनी चाहिए$z$ मूल्य वापस $z=0$.

हमारे पास एक ऊंचाई का कार्य है जहां अंतिम क्रॉसिंग और पहले क्रॉसिंग के बीच के छोटे खंड को छोड़कर गाँठ हर जगह सख्ती से बढ़ रही है। इस प्रकार, एक अधिकतम और एक न्यूनतम है और इसलिए एक पुल संख्या 1 गाँठ, अननॉट।

Answer 3

सुनिश्चित नहीं है कि कितना उपयोगी है, क्योंकि मैं विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन यहां एक विचार है जो सही हो सकता है।

सबसे पहले, अपने ड्राइंग के लंबवत तीसरे आयाम का परिचय दें, और सुनिश्चित करें कि "प्रारंभिक" बिंदु सीधे "ऊपर" जाने वाले खंड का प्रक्षेपण है। फिर, बाकी गाँठ को रखना संभव होना चाहिए ताकि, रेखा के साथ चलते समय, आप केवल नीचे जाएं। एक हेल्टर स्केल्टर की कल्पना करें (लगभग ऊर्ध्वाधर सीढ़ी ऊपर जा रही है), और आपको एक अच्छा विचार होगा कि मेरा क्या मतलब है। अब यह थोड़ा आसान है, लेकिन मेरा मानना ​​​​है कि आप प्रत्येक चौराहे को निश्चित ऊंचाई प्रदान कर सकते हैं, जैसा कि आप "नीचे" रास्ते पर जाते हैं, और फिर गाँठ पर अन्य सभी बिंदुओं तक विस्तार करते हैं। (जैसे अगर "सीढ़ी" वाला हिस्सा ऊंचाई से ऊपर उठता है$0$ सेवा मेरे $1$, के लिये $n$ चौराहों, जैसा कि आप हर एक से दो बार गुजरते हैं, आप ऊंचाइयों को आरक्षित कर सकते हैं $\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$ गाँठ पर "प्रतिच्छेदन" बिंदुओं के लिए।)

बाकी यह दिखाने के लिए सरल गणना होनी चाहिए कि इस गाँठ को विकृत किया जा सकता है। यदि मूल गाँठ ("स्लाइड" भाग) के समीकरण को के रूप में परिचालित किया जाता है$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, साथ से $\rho(0)=\rho(1)=0$, फिर इसे विकृत करें, के लिए $\lambda\in[0,1]$ जांच $(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$. $\lambda=1$ मूल गाँठ देता है, जबकि $\lambda=0$ एक स्पष्ट रूप से अनजान देता है $x-z$ विमान।