गणना कैसे करें $\int_0^\infty \frac{\cos(ax)}{(1+x^2)\sqrt{x}}dx$।

Nov 25 2020

$$ \mbox{How can I compute}\ \int_{0}^{\infty}\frac{\cos\left(ax\right)}{\left(1 + x^{2}\right)\,\sqrt{\,{x}\,}}\,\mathrm{d}x\ ?. $$

मैंने उस शब्द के बिना अभिन्न की गणना के बारे में कई सवाल देखे $\,\sqrt{\,{x}\,}\,$ और यह कि विभिन्न तकनीकों (समोच्च अभिन्न, पुनरावृत्त अभिन्न आदि) का उपयोग करके इसे हल किया जा सकता है$\ldots$) का है। लेकिन मैं अपने अभिन्न की गणना कैसे कर सकता हूं$?$

जवाब

4 SewerKeeper Nov 25 2020 at 18:56

चलो $$ f(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x, $$


सबसे पहले, हम ध्यान दें $f(a)=f(-a)$, इसलिये $f$ यहां तक ​​कि और हम केवल पर ध्यान केंद्रित करेंगे $a \ge 0$

दूसरा, $$ \begin{split} \left| f(a) \right| &\le \left|\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x \right|\\ &\le \int_0^{+\infty} \frac{\left|\cos(ax)\right|}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x \\ &\le \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(1+x^2)\sqrt{x}} = f(0) \end{split}$$

कुछ गणित के साथ वह पाता है $$ f(0) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(1+x^2)\sqrt{x}} =2\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm dt}{1+t^4} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \approx 2.22 $$

( यहां देखें )


अब, यदि हम अभिन्न प्रतीक के तहत द्वैत को अलग करते हैं (हम लिबनिज अभिन्न नियम के कारण ऐसा कर सकते हैं )$$ \begin{split} f''(a) &= -\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax) \cdot x^2}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x\\ &= -\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax) \left(x^2+1-1\right)}{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x\\ &= - \left[\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x -\int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax) }{(1+x^2)\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x \right] \\ &= f(a) - \int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x \end{split}$$

अभी,

$$ \begin{split} \int_0^{+\infty} \frac{\cos(ax)}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x &= \frac{1}{2}\int_\mathbb{R}\frac{\cos(ax)}{\sqrt{|x|}} \, \mathrm{d} x \\ &= \mathcal F \left(\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right)(a) \\ &=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2\pi}{|a|}}\\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1}{|a|}} \end{split} $$ जहाँ हमने उपयोग किया $ \mathcal F \left(\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right)(a) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2\pi}{|a|}}$( फूरियर ट्रांसफॉर्म देखें)$\frac{1}{\sqrt{|x|}}$)


तो, समस्या अब हल करने के लिए है

$$ \begin{cases} f''(a) -f(a) = -\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1}{|a|}}\\ f(0) = \frac{\pi}{\sqrt 2}\\ \end{cases} $$

रैखिक अंतर समीकरणों से हम जानते हैं कि एक समाधान है

$$ f(a) = c_1 \mathrm{e}^a + c_2 \mathrm{e}^{-a} + f_\mathrm p(a) $$

कहां है $c_1$ तथा $c_2$ असली संख्या और हैं $f_\mathrm p$ पूरक समाधान है।

वोल्फ्राम अल्फा हमें यह जानने में मदद करता है

$$ \begin{split} f(a) &= c_1 \mathrm{e}^a + c_2 \mathrm{e}^{-a} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_0^{a} \frac{\mathrm{e}^{-x+a}-\mathrm{e}^{x-a}}{2\sqrt{x}}\, \mathrm d x\\ &= c_1 \mathrm{e}^a + c_2 \mathrm{e}^{-a} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_0^{a} \frac{\sinh(a-x)}{\sqrt{x}}\, \mathrm d x \end{split} $$

अब, यदि हम प्रारंभिक स्थिति जोड़ते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं $$ c_1+c_2 = \frac{\pi}{\sqrt 2}, $$ इसलिए, स्थिरांक का नाम बदलने के बाद $c_1 = C$समाधान है

$$ \begin{split} f(a)&= C \mathrm{e}^a + \left(\frac{\pi}{\sqrt 2} - C\right) \mathrm{e}^{-a} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_0^{a} \frac{\sinh(a-x)}{\sqrt{x}}\, \mathrm d x\\ &= 2C \sinh(a) + \frac{\pi}{\sqrt 2} \mathrm{e}^{-a} + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\int_0^{a} \frac{\sinh(a-x)}{\sqrt{x}}\, \mathrm d x \end{split} $$

यदि आप कुछ अन्य प्रारंभिक मूल्य (उदाहरण के लिए) पाते हैं $f(1)$), फिर आप स्थिरांक को समाप्त कर सकते हैं $C$ भी।