गणना कैसे करें $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\,dx$

Question

मैं गणना करना चाहता हूं $\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\,dx$, लेकिन मैं जटिल विश्लेषण का उपयोग नहीं करना चाहता। मैं इसकी गणना कैसे कर सकता हूं?

मैंने कोशिश की

$$I\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx$$ $$I''\left(t\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x^3\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x}\,dx\:+\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x\left(1+x^4\right)}\,dx$$ $$=-\pi \:+\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \left(tx\right)}{x\left(1+x^4\right)}\,dx$$ $$I''''\left(t\right)=-\int _{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\,dx$$ $$I''''\left(t\right)+I\left(t\right)=0$$विभेदक समीकरण को हल करना और फिर प्रारंभिक स्थितियों को सेट करना एक बहुत लंबी प्रक्रिया की तरह लगता है। मैं और कैसे गणना कर सकता हूं?

Answer 1

साथ में $I\left(t\right)=\int _{-\infty}^{\infty }\frac{x\sin \left(tx\right)}{1+x^4}\:dx$, आपके पास $I’’’’(t)+I(t)= 0$सभी प्रारंभिक स्थितियों के साथ

$$I(0)=0, \>\>\>I’(0)=\int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{1+x^4}dx =\frac\pi{\sqrt2} ,\\ I’’(0)=-\pi, \>\>\> I’’’(0)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^4}dx =\frac\pi{\sqrt2}\\ $$

जो समाधान के लिए नेतृत्व करते हैं $I(t) =\pi e^{-\frac t{\sqrt2}}\sin\frac t{\sqrt2} $। इस प्रकार,

$$\int _{-\infty}^{\infty }\frac{x\sin \left(x\right)}{1+x^4}\:dx =I(1)=\pi e^{-\frac 1{\sqrt2}}\sin\frac 1{\sqrt2} $$

Answer 2

अपने आप में अंतर समीकरण खराब नहीं है $$I(t)=e^{-\frac{t}{\sqrt{2}}} \left(\left(c_1 e^{\sqrt{2} t}+c_2\right) \sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+\left(c_3 e^{\sqrt{2} t}+c_4\right) \cos \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right)$$लेकिन, जैसा कि आपने लिखा, समस्या परिस्थितियों को निर्धारित करने के लिए हो सकती है (लेकिन आप इसे कर सकते हैं)

बीजगणित का उपयोग करते हुए, चलो $a,b,c,d$ की जड़ हो $x^4+1=0$(आप उन्हें जानते हैं)। इसलिए$$\frac x{x^4 +1}=\frac x{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}$$ पेटीएम अपघटन का उपयोग करें और चार अभिन्न अंग जैसे दिखते हैं $$I_k=\int_{-\infty}^\infty\frac {\sin(x)}{x-k} dx\qquad \text{where} \qquad \text{k is a complex number}$$ बनाना $x=t +k$ $$\frac {\sin(x)}{x-k}=\frac {\sin(t+k)}{t}=\cos(k)\frac {\sin(t)}{t}+\sin(k)\frac {\cos(t)}{t}$$और हम साइन और कोसाइन इंटीग्रल्स का सामना करेंगे। लेकिन अंतिम परिणाम सरल है$$I_k=\pi \, e^{i k}$$