ग्रीलिंग के विरोधाभास के महत्व को समझने में कठिनाई।
पृष्ठभूमि: मैं एक गणित धोखेबाज़ हूँ, फिर भी विश्वविद्यालय में दाखिला लेना है। मैंने अनियमित रूप से मेंडेल्सन का परिचय गणितीय तर्क से पढ़ना शुरू किया , जब मैंने अंतर्देशीय में इस विरोधाभास पर ठोकर खाई:
ग्रीलिंग का विरोधाभास: एक विशेषण को ऑटोलॉजिकल कहा जाता है यदि विशेषण द्वारा निरूपित संपत्ति विशेषण के लिए है। यदि विशेषण द्वारा निरूपित संपत्ति स्वयं विशेषण पर लागू नहीं होती है, तो एक विशेषण को विषमशास्त्रीय कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 'पॉलीसैलेबिक' और 'इंग्लिश' ऑटोलॉजिकल हैं, जबकि 'मोनोसैलिक' और 'फ्रेंच' हेटेरोलॉजिकल हैं। विशेषण 'विषम' पर विचार करें। अगर 'हेटेरोलॉजिकल' हेटेरोलॉजिकल है, तो यह हेटेरोलॉजिकल नहीं है। यदि 'हेटेरोलॉजिकल' हेटेरोलॉजिकल नहीं है, तो यह हेटेरोलॉजिकल है। या तो मामले में, दोनों हीलॉजिकल है और न कि हेटेरोलॉजिकल।
मैं निम्नलिखित समझना चाहूंगा:
- इस विरोधाभास में तार्किक पतन का स्रोत क्या है? अगर मैं एक सेट तैयार करता हूं$A$ सभी विशेषण और उपसमुच्चय $A_a$ तथा $A_h$ क्रमशः ऑटोलॉजिकल और हेटेरोलॉजिकल विशेषणों के अनुरूप, फिर यह मामला हो सकता है $\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$, यानी, यह दोनों में से किसी भी सेट (जब तक) से संबंधित नहीं है $A_a\cap A_h=\emptyset$ तथा $A_a\cup A_h=A$)।
- एक हल्के नोट पर, मैं इस विरोधाभास के गणितीय महत्व के बारे में जानना चाहूंगा, और यह आधुनिक सेट सिद्धांतों से कैसे निपटा जाएगा।
हालांकि मुझे लगता है कि उत्तर बहुत ही सार हो सकता है, कृपया यदि संभव हो तो एक आवश्यक तकनीकी विवरण के साथ एक सरल सादृश्य जोड़ दें।
जवाब
अगर $A, A_a,$ तथा $A_h$ वास्तव में "समझदारी" - नीचे इस पर अधिक - फिर हमारे पास स्पष्ट रूप से है $A_a$ तथा $A_h$ PARTITION $A$: $A_h$ परिभाषित किया गया है $A\setminus A_a$। तो आपका प्रस्ताव काम नहीं करता है।
तय यह है कि $A_a$ तथा $A_h$वास्तव में वे दिखाई देने की तुलना में अधिक जटिल हैं। हमारे पास केवल एक विरोधाभास है यदि विशेषण "विधर्मी" है$A$। लेकिन यह पता चलता है कि ऐसा नहीं होता है: मूल रूप से, हेटोलोगेलिटी को परिभाषित करने के लिए हमें एक सत्य का उपयोग करने की आवश्यकता है$A$और हमारे पास उनमें से एक नहीं है$A$ही ।
एक्शन में विरोधाभास देखने का एक तरीका यह है।
लश्कर $\ulcorner\cdot\urcorner$ अपने पसंदीदा Godel नंबरिंग फ़ंक्शन और जाने दें $Form$अंकगणित की भाषा में सभी प्रथम-क्रम सूत्रों का सेट हो। सादगी के लिए, आइए लिखते हैं "$\mathbb{N}$“संरचना के लिए $(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$। फिर सेट$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$ का संस्करण $A_h$ अंकगणित के पहले क्रम के फार्मूले के लिए, अंकगणित के पहले क्रम के फार्मूले से ही निश्चित नहीं किया जा सकता है: यदि $X$ कुछ सूत्र द्वारा परिभाषित किए गए थे $\theta$ प्रथम-क्रम अंकगणित, कि अगर हम था $$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$ कुछ सूत्र के लिए $\theta$ पहले क्रम के अंकगणित में, क्या हम इस पर विचार करके विरोधाभास प्राप्त करेंगे $\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$।
अधिक आम तौर पर, हम किसी भी सेटिंग के ऊपर विशेष सेटिंग को सामान्य कर सकते हैं जहां हमारे पास कुछ तर्क हैं $\mathcal{L}$, कुछ संरचना $\mathfrak{A}$, और कुछ उपयुक्त "कोडिंग" तंत्र $\mathcal{L}$में सुधार $\mathfrak{A}$। विवरण प्राप्त करना कुछ सही लगता है, लेकिन मुद्दा यह है कि ग्रीलिंग का विरोधाभास एक मौलिक "स्टेप-अप" घटना को दिखाता है जिससे हम बच नहीं सकते हैं: किसी विशेष तर्क / संरचना / कोडिंग प्रणाली के लिए सेट किया गया ग्रीलिंग उस संरचना में निश्चित नहीं है उस तर्क का एक सूत्र।
(ध्यान दें कि $X$वास्तव में व्यापक संदर्भों में परिभाषित किया जा सकता है : उदाहरण के लिए, यह निश्चित है$\mathbb{N}$दूसरे क्रम के तर्क के सूत्र द्वारा, और यह सेट के ब्रह्मांड में पहले क्रम के सूत्र द्वारा निश्चित है , जिनमें से$\mathbb{N}$ बहुत छोटा टुकड़ा बनता है।)