है $x$ तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र पर एक बीजीय तत्व $K(x)^p$?

Dec 25 2020

प्रश्न: है $x \in K(x)$ क्षेत्र के ऊपर एक बीजगणितीय तत्व $K(x)^p$?

संपादित करें: चलो $K$ चार के साथ एक क्षेत्र हो ($K)=p>0$ और जाने $K(x)$ पर तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र हो $K$

मेरा प्रयास: मैंने मूल रूप से इसका जवाब देने की कोशिश की:

खेत $K (x)$ तर्कसंगत कार्यों से अधिक $K$, तत्व $x$ है कोई $p$गु जड़।

इसके विपरीत मान लीजिए $x$ बीजीय पर है $K(x)^p$, इसलिए $x$ कुछ की जड़ है $p$-दिवारी बहुपद ऐसी; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$

$f(x)^p=g(x)^p * x$

यहाँ हम डिग्री के बाद से विरोधाभास देखते हैं $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ तथा $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$

मैं इस पर पूरी तरह से खो गया हूं, मैं बीचसी द्वारा सार बीजगणित के चौथे संस्करण का उपयोग कर रहा हूं और तर्कसंगत रूप से क्षेत्र का शायद ही कोई उल्लेख किया गया हो। किसी भी संकेत और शायद संसाधनों पर सुझाव जहां मैं तर्कसंगत के क्षेत्र के बारे में अधिक जानकारी पा सकता हूं, बहुत सराहना की जाएगी, धन्यवाद!

जवाब

4 CPCH Dec 25 2020 at 02:53

$x$ वास्तव में बीजीय पर है $K(x)^p$ (टिप्पणी के प्रश्न पर ध्यान दें, हमें केवल इसकी आवश्यकता है $x^p\in K(x)^p$। मुझे लगता है कि यह आपके लिए भ्रम की स्थिति में हो सकता है कि हम किस रिंग में बहुरूपियों को खोजने की कोशिश कर रहे हैं$x$एक जड़ के रूप में। इस नोटिफ़िकेशन समस्या को हल करने के लिए, आइए कॉल करें$F:=K(x)^p$

अभी $x$ बीजीय पर है $F$ अगर कुछ बहुपद है $g\in F[Y]$ सेंट $g(x)=0$। आइए बहुपद को देखें$g=Y^p-x^p$। हम वह जानते हैं$x^p\in F$, तोह फिर $g\in F[Y]$। स्पष्ट रूप से भी$g(x)=x^p-x^p=0$, तोह फिर $x$ बीजीय पर है $F$

4 Lubin Dec 25 2020 at 02:59

मैं आप के लिए मतलब भर में मान रहा हूँ $K$ विशेषता है $p>0$। शायद तुम संभावना द्वारा फेंक दिया जाता है कि$K$ सही नहीं है, किस मामले में $\bigl(K(x)\bigr)^p$ से भिन्न $K(x^p)$। चिंता मत करो, हालांकि: हमारे उद्देश्यों के लिए, यह कोई फर्क नहीं पड़ता।

आइए अपने क्षेत्र क्षेत्र पर विचार करें $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$जिसमें एक तत्व है $x^p$। मैं इस तत्व को बुलाऊंगा$t$। हम ध्यान दें कि एक क्षेत्र समरूपता है$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, द्वारा द्वारा $\varphi(f)=f^p$। और तत्व की छवि$x$ का $K(x)$ है $t\in\mathscr L$; बस के रूप में$x$ है कोई $p$में जड़ $K(x)$, तोह फिर $t$ है कोई $p$में जड़ $\mathscr L$। इस प्रकार$\mathscr L$-पुलिनोमियल $X^p-t$ अकाट्य है ($\dagger$) का है। यह एक जड़ में वापस है$K(x)$, हालांकि, अर्थात् $x$। और तुम वहाँ हो।

()$\dagger$) मैंने इस तथ्य का उपयोग किया है कि एक क्षेत्र में $k$ की विशेषता $p$, $X^p-b$ या तो में एक जड़ है $k$ या है $k$-रेड्यूसिएबल