हम यह कैसे दिखाते हैं ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ बिल्कुल अभिसारी नहीं है?

Dec 31 2020

यह एलेप्टिक कार्यों के अध्याय में शकरची और स्टीन द्वारा जटिल विश्लेषण से है।

हम यह कैसे दिखाते हैं ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ पूरी तरह से अभिसरण नहीं है, जहां $\wedge$जटिल विमान में एक डबल जाली है? मुझे जटिल अनंत राशियों के पूर्ण अभिसरण को दिखाना मुश्किल लगता है। शायद मैं इस श्रृंखला को बांधने और वास्तविक श्रृंखला से तथ्य का उपयोग करने की कोशिश कर सकता हूं, लेकिन मुझे नहीं पता कि कैसे।

जवाब

3 Conrad Dec 31 2020 at 08:27

एक रोटेशन से हम मान सकते हैं कि जाली है $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ और wlog हम मान सकते हैं $a \ge 0$ अन्यथा हम उपयोग करते हैं $n <0$ जो आगे हुआ।

ठीक कर $z=x+iy$, तोह फिर $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$

तो अगर $Nb>|y|$, हमें मिला $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

और इसी तरह $M>0, M+Na >|x|$ का तात्पर्य $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

इस का मतलब है कि $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

लेकिन अब केवल उन्हीं शब्दों को समेटें और उस राशि को बुलाएं $S$ हमें वह मिलता है:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

सकारात्मक संख्याओं की एक दोहरी श्रृंखला का उपयोग करके (हम या तो परिमित या अनंत के रूप में एक ही परिणाम के साथ) परस्पर जुड़ सकते हैं (जैसा कि सारांश में घट रहा है) $m$) कि तय के लिए $n \ge N$:

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

कहां है $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ जैसा $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ और अभिजात वर्ग बढ़ रहा है

लेकिन इससे पता चलता है कि $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ इसलिए एक जाली सबसेट पर पूर्ण मूल्यों की दोहरी श्रृंखला पहले से ही अनंत है और हम कर रहे हैं!