हर क्रमिक रूप से है $\sigma(E',E)$एक दोहरे Banach अंतरिक्ष पर लगातार रैखिक कार्यात्मक $E'$ एक बिंदु मूल्यांकन आवश्यक है?
$\newcommand{\bf}[1]{\mathbb #1}\newcommand{\sc}[1]{\mathscr #1}$दो वेक्टर स्थानों के बीच एक द्वंद्व$E$ तथा $F$ ऊपर $\bf K$ ()$= {\bf R}$ का ${\bf C}$), परिभाषा के अनुसार, एक बिलिनियर रूप है $$ \langle \cdot, \cdot\rangle :E\times F\to \bf K, $$ ऐसा है, अगर $\langle x, y\rangle =0$ हर एक के लिए $x$ में $E$, तब फिर $y=0$। और इसके विपरीत।
ऊपर के रूप में एक द्वंद्व को देखते हुए, एक कमजोर टोपोलॉजी को परिभाषित करता है$F$, आमतौर पर चिह्नित किया जाता है $\sigma (F,E)$, जिसके अनुसार लीनियर फंक्शंस सबसे मोटे टोपोलॉजी हैं $$ y\in F\mapsto \langle x, y\rangle \in \bf K $$ हर के लिए निरंतर हैं $x$ में $E$।
यह एक शास्त्रीय तथ्य है कि हर $\sigma (F,E)$- सतत रैखिक कार्यात्मक $\varphi :F\to \bf K$में एक वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है$E$ इस अर्थ में कि वहाँ मौजूद है (आवश्यक रूप से अद्वितीय) $x$ में $E$ ऐसा है कि $$ \phi(y) = \langle x, y\rangle ,\quad\forall y\in E. $$
इसलिए कोई भी पूछ सकता है:
प्रश्न । यदि निरंतरता अनुक्रमिक निरंतरता द्वारा प्रतिस्थापित की जाती है, तो उपरोक्त अभी भी पकड़ में है । दूसरे शब्दों में, प्रत्येक क्रमिक रूप से होना चाहिए$\sigma (F, E)$पर निरंतर रैखिक कार्यात्मक $F$ में एक वेक्टर द्वारा प्रतिनिधित्व किया $E$।
इससे पहले कि पाठक इसे साबित या अस्वीकृत करने के कार्य में कूद जाए, मुझे यह कहना चाहिए कि दुर्भाग्य से इसका उत्तर नकारात्मक है, एक काउंटर उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया जा रहा है।
तो मुझे इस स्थिति में सीमित करके थोड़ा विशेषज्ञ करें $E$ एक Banach स्थान है और $F$ इसकी द्वंद्वात्मक द्वैध है, विहित द्वैत के साथ $$ \langle x, \varphi \rangle = \varphi (x), \quad \forall x\in E, \quad \forall \varphi \in E'. $$
सटीक होना:
प्रश्न । लश्कर$E$ एक Banach स्थान और चलो $\varphi $ पर एक रैखिक कार्यात्मक हो $E'$ जो क्रमिक रूप से है $\sigma (E',E)$-निरंतर। है$\varphi $ आवश्यक रूप से एक वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है $E$?
यह स्पष्ट रूप से सच है अगर $E$ रिफ्लेक्टिव है और मुझे लगता है कि मैं इसके लिए भी साबित हो सकता हूं $E=c_0$, के लिए साथ साथ $E=\ell ^1$।
एक शिकारी उदाहरण
लश्कर $E=\sc F(H)$ हिल्बर्ट के स्थान पर सभी परिमित-रैंक ऑपरेटरों का एक सेट हो, और $F=\sc B(H)$ट्रेस के माध्यम से परिभाषित द्वैत के साथ, अर्थात् $$ \langle S, T\rangle = \text{tr}(ST), \quad\forall S\in \sc F(H), \quad\forall T\in \sc B(H). $$
इस मामले में $\sigma \big (\sc B(H),\sc F(H)\big )$ कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी (WOT) निकला, जो सिग्मा कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है ($\sigma $-WOT) के बंधे हुए सबसेट पर $\sc B(H)$।
चूंकि बाओट-स्टाइनहस द्वारा WOT-convergent क्रमों को बांधा गया है, इसलिए हमारे पास WOT-convergent अनुक्रम समान हैं $\sigma $-परिवर्तित लोगों को। यह इस प्रकार है कि हर$\sigma $-पर-निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर $\sc B(H)$WOT- निरंतर भी है। हर ट्रेस क्लास ऑपरेटर के लिए एक लंबी कहानी को छोटा बनाना$S$ पर $H$ अनंत रैंक, रैखिक कार्यात्मक $$ T\in \sc B(H) \mapsto \text{tr}(ST)\in {\bf C} $$ क्रमिक रूप से WOT- निरंतर है, लेकिन इसमें एक ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जाता है $\sc F(H)$।
जवाब
Mikael de la Salle बताते हैं कि यह कब सच है $E$अलग करने योग्य है, जैसा कि कॉनवे के कोरोलरी V.12.8 में दिखाया गया है, ए कोर्स इन फंक्शनल एनालिसिस, 2 ई ।
एक गैर-वियोज्य प्रतिधारण के लिए, बेशुमार क्रमिक स्थान पर विचार करें $[0, \omega_1]$, जो कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ है, और $E = C([0, \omega_1])$। Riesz प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा,$E'$ हस्ताक्षरित रैडॉन उपायों का स्थान है $\mu$ पर $[0, \omega_1]$इसके कुल भिन्नता मानदंड के साथ। लश्कर$\varphi(\mu) = \mu(\{\omega_1\})$। यह स्पष्ट रूप से किसी भी वेक्टर द्वारा प्रस्तुत नहीं किया गया है$E$ समारोह के बाद से $1_{\{\omega_1\}}$ निरंतर नहीं है, लेकिन मैं दावा करता हूं $\varphi$ क्रमिक रूप से है $\sigma(E', E)$ निरंतर।
लश्कर $\mu_n$ 0 में परिवर्तित होने वाला एक क्रम हो $\sigma(E', E)$ और ठीक करें $\epsilon > 0$। प्रत्येक के बाद से$\mu_n$ रैडॉन है, इसलिए इसका कुल भिन्नता माप है $|\mu_n|$, और इस प्रकार हम अनुमानित कर सकते हैं $\{\omega_1\}$ में $|\mu_n|$-खुले सेटों से बाहर की तरफ से मर्जर इसलिए वहां मौजूद है$\alpha_n < \omega_1$ ऐसा है कि $|\mu_n|((\alpha_n, \omega_1)) < \epsilon$। लश्कर$\alpha = \sup_n \alpha_n < \omega_1$; तब फिर$|\mu_n((\alpha, \omega_1))| \le |\mu_n|((\alpha, \omega_1)) < \epsilon$ हर एक के लिए $n$।
परिभाषित $f : [0, \omega_1] \to \mathbb{R}$ द्वारा द्वारा $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1, & x > \alpha \end{cases}$$ और ध्यान दें $f$निरंतर है। अब क$$\varphi(\mu_n) = \mu_n(\{\omega_1\}) = \mu_n((\alpha, \omega_1]) - \mu_n((\alpha, \omega_1)) = \int f\,d\mu_n - \mu_n((\alpha, \omega_1)).$$
लेकिन धारणा से $\int f\,d\mu_n \to 0$, तथा $|\mu_n((\alpha, \omega_1))| < \epsilon$, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं $\varphi(\mu_n) \to 0$।