इस बहुपद को कैसे फैक्टर करें?
मैं इस बहुपदीय कारक की कोशिश कर रहा था:
$x^3 + x^2 - 16x + 20$
इस प्रश्न में चार विकल्प हैं:
- ( ए ) यह निम्नलिखित रूप में तथ्यपूर्ण हो सकता है:$(x^2 + b)(x+c)$;
- ( बी ) निम्नलिखित रूप में यह तथ्यपूर्ण हो सकता है:$(x+b)(x+c)(x+d)$, ऐसा मानते हुए $b \neq c \neq d$
- ( c ) यह तथ्यपूर्ण नहीं हो सकता।
- ( डी ) निम्नलिखित रूप में यह तथ्यपूर्ण हो सकता है:$(x+b)^2 (x+c) $
यहां बताया गया है कि मैंने इसे कैसे करने की कोशिश की है: मैंने x को समूहीकृत करने का प्रयास किया है, इसलिए मैंने प्राप्त किया है: $x(x^2 + x - 16) + 20$। अब, मैं डाल दिया है$x$ और यह $20$ साथ में: $(x+20)(x^2 + x - 16)$। फिर, मैंने दूसरे कार्यकाल को कारक बनाने की कोशिश की है:$(x+20)(x-16)(x+1)$। तो, इस एल्गोरिथम के अनुसार, उत्तर "बी" होगा।
मैंने परीक्षण पूरा कर लिया है (यह प्रवेश परीक्षा के लिए एक सिमुलेशन है जो मैं करने जा रहा हूं), मैंने जवाब प्रस्तुत किया है, और मैंने देखा है कि यह प्रश्न सही नहीं है।
जवाब
जैसा कि @ फर्निस ने टिप्पणियों में बताया है,
आप कारक नहीं निकाल सकते $(x+20)$जैसा आपने किया है। का कोई सामान्य कारक नहीं है$(x+20)$ के बीच $x^2+x−16$ तथा $20$।
का उपयोग करते हुए https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem, आप जान सकते हैं कि संभावित तर्कसंगत जड़ें हैं $\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$।
निरीक्षण और बहुपद / सिंथेटिक विभाजन के माध्यम से, आप प्राप्त कर सकते हैं $(x-2)^2(x-5)$, जैसा कि @saulspatz ने कहा। इसलिए, (डी) आपका उत्तर है।
कोशिश करना सबसे आसान है (डी), क्योंकि यह कहता है कि बहुपद में एक डबल जड़ है। हम व्युत्पन्न की जड़ की तलाश करेंगे और जांच करेंगे कि क्या यह बहुपद को रद्द करता है या नहीं।
$$3x^2+2x-16=0\iff x=2\text{ or }x=-\dfrac83.$$
अभी $p(2)=0$, बिंगो!
यह एक कारक के लिए आसान है। आइए देखें कैसे।
में प्लग इन करके शुरू करें $x=0,1,-1,2$ और इसी तरह।
आप निरीक्षण द्वारा पाएंगे $x=2$बहुपद का एक शून्य है। इसलिए,$(x-2)$ इसका कारक है।
अब बहुपद को इस तरह से कारक बनाते हैं $(x-2)$ आम हो जाता है।
$$x^3+x^2-16x+20$$ $$=x^3-2x^2+3x^2-6x-10x+20$$ $$=x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$$ $$=(x-2)(x^2+3x-10)$$ $$=(x-2)(x^2+5x-2x-10)$$ $$=(x-2)[x(x+5)-2(x+5)]$$ $$=(x-2)^2(x+5)$$