इटो का लेम्मा 2 न्डर टर्म नोटेशन।
मेरे यहाँ एक संकेतन प्रश्न है।
इटो के लेम्मा के सबसे सरल रूप में, हमारे पास यह है
$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$
मुझे पता है कि कैसे गणना करना है $ d\langle Y \rangle_t $ टर्म, लेकिन मैं हमेशा पूछना चाहता हूं
- शब्द का नाम क्या है, और वास्तव में इसका क्या अर्थ है?
- यह इतने विशेष तरीके से क्यों लिखा गया है, लेकिन इसका उपयोग नहीं किया गया है $ Cov() $, या $ Var() $?
वैचारिक रूप से मेरे लिए इस प्रक्रिया का विचरण है, लेकिन मैं अभी संकेतन को नहीं समझता। सबस्क्रिप्ट क्यों$ t $ के बाहर लगाया जा रहा है $ \langle \cdot \rangle $।
क्या मैं इसे इनमें से किसी भी तरह लिख सकता हूँ?
$ \langle dY_t \rangle $
$ d \langle Y_t \rangle $
यदि दो प्रक्रियाएं शामिल हैं, तो पैटर्न के अनुसार मुझे लगता है कि इसे इस तरह लिखा जाना चाहिए $ d\langle X, Y \rangle_t $, लेकिन क्या मैं इसे नीचे इस तरह लिख सकता हूं?
$ \langle dX_t, dY_t \rangle $
$ d\langle X_t, Y_t \rangle $
क्या मैं इसे अभिन्न रूप में भी लिख सकता हूं? मुझे कहाँ लगाना चाहिए$ t $ अगर मैं इसे अभिन्न रूप में लिख रहा हूँ?
बहुत बहुत धन्यवाद
जवाब
लंबे हाथ / लघु-हाथ संकेतन:
मैंने व्यक्तिगत रूप से हमेशा शॉर्ट-हैंड नोटेशन को भ्रामक पाया है और आज तक जब भी संभव हो इससे बचने की कोशिश करें। नीचे, मैं यह प्रदर्शित करने की कोशिश करूंगा कि यह भ्रमित क्यों है और आमतौर पर की गई गलतियों की ओर जाता है।
"लंबे समय से हाथ" संकेतन में, एक इतो प्रक्रिया $X_t$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$
ऊपर, $a(X_t,t)$ तथा $b(X_t,t)$ कुछ वर्ग-विभेदक प्रक्रियाएं हैं।
ऐसा नहीं है कि ध्यान देने योग्य है द्विघात भिन्नता की$X_t$ तब होगा:
$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$
(यह स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए द्विघात भिन्नता की परिभाषा से निम्नानुसार है, इस पोस्ट के अंत में संपादित देखें)
अब, शॉर्ट-हैंड नोटेशन में, हम इसके लिए समीकरण लिख सकते हैं $X_t$ ऊपर के रूप में:
$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$
सबसे पहले, शॉर्ट-हैंड नोटेशन का वास्तव में क्या मतलब है? हम परिभाषित कर सकते हैं$\delta X_t$ निम्नलिखित नुसार:
$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$
और तब $dX_t$ हो सकता है (intuitively, कठोरता से नहीं) की तर्ज पर समझा गया:
$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$
लेकिन मुझे लगता है कि यह वास्तव में क्या है के लिए शॉर्ट-हैंड नोटेशन को समझना सबसे अच्छा है: स्टोचस्टिक इंटीग्रल्स के लिए शॉर्ट-हैंड।
इतो लेम्मा:
अब इटो की लेम्मा में कहा गया है कि इस तरह की किसी भी इटो प्रक्रिया के लिए $X_t$, कोई भी दो-भिन्न फ़ंक्शन $F()$ का $X_t$ तथा $t$ निम्नलिखित समीकरण का पालन करना होगा:
$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$
ऊपर, आप " द्विघात परिवर्तन " शब्द को देख सकते हैं:
$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$
(जो, "शॉर्ट-हैंड" संकेतन के रूप में लिखा जा सकता है $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$, यानी बिल्कुल आपके जैसा $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$, मैं अभी उपयोग करता हूं $F$ की बजाय $f$ तथा $X_t$ की बजाय $Y_t$: फिर से, मैं लंबे हाथ की संकेतनता की तुलना में बहुत कम सहज ज्ञान युक्त पाता हूँ, जो इटो प्रक्रियाओं के साथ खेलने के वर्षों के बाद भी)।
शॉर्ट-हैंड नोटेशन का उपयोग क्यों नहीं करना है
अब मैं इसका एक उदाहरण दिखाना चाहता हूं कि मुझे क्यों लगता है कि शॉर्ट-हैंड नोटेशन सुपर-भ्रामक हो सकता है: आइए आइंस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया के साथ चलते हैं (नीचे, $\mu$, $\theta$ तथा $\sigma$ निरंतर पैरामीटर हैं):
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$
हमारे पास है $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ तथा $b(X_t,t) = \sigma$।
ऊपर हल करने की चाल इटो के लेम्मा को लागू करना है $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, जो देता है:
$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$
अब, समाधान पाने के लिए $X_t$अंतिम चरण केवल दोनों पक्षों द्वारा विभाजित करना है $e^{\theta t}$, को अलग करने के लिए $X_t$ एलएचएस पर शब्द, जो देता है:
$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$
मैंने कई लोगों को "शॉर्ट-हैंड" नोटेशन का उपयोग करके ऑर्स्टीन-उहलेनबेक को हल करने की कोशिश करते हुए देखा है, और आखिरी चरण में, जब हम इसके माध्यम से विभाजित करते हैं $e^{\theta t}$, मैंने लोगों को उन शर्तों को "रद्द करना" देखा है जिन्हें सामान्य रूप से लिखा जाएगा $e^{\theta h}$ इंटीग्रल के अंदर: क्योंकि शॉर्ट हैंड नोटेशन एक इंटीग्रेशन डमी वैरिएबल के बीच अंतर करने में विफल रहता है (यानी "$h$") और क्या पहले से ही एकीकृत किया गया था"$t$”।
अंत में, मैं SDEs के लिए शॉर्ट हैंड नोटेशन का उपयोग करने की अनुशंसा नहीं करूंगा, और यदि आप इसके पार आते हैं, तो मैं इसे "इसका अनुवाद" करने के लिए प्रोत्साहित करूंगा कि इसका वास्तव में क्या मतलब है (यानी "लॉन्ग-हैंड" नोटेशन): कम से कम मेरे लिए , इसने चीजों को समझना आसान बना दिया है।
द्विघात परिवर्तन पर संपादित करें : स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं के लिए द्विघात भिन्नता को संभाव्यता में एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है क्योंकि मेष-आकार महीन और महीन हो जाता है, विशेष रूप से एक ब्राउनियन गति के लिए, हम लिख सकते हैं$\forall \epsilon > 0$:
$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$
यानी कि द्विघात रूपांतर में परिवर्तित होने की संभावना $t$1 तक जाता है क्योंकि मेष आकार असीम रूप से ठीक हो जाता है (प्रमाण बल्कि तकनीकी है, उदाहरण के लिए यहां देखें , जहां वे वास्तव में अभिसरण को निश्चित रूप से साबित करते हैं (जो संभाव्यता में अभिसरण का अर्थ है)।
ध्यान दें कि हम तब लिख सकते हैं:
$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ और इस तरह से प्रसिद्ध सूत्र प्राप्त करें:
$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$