जब चरण एक भूमिका निभाता है या QM में भूमिका नहीं निभाता है तो बहुत ही सटीक रूप से समझाता है
मेरा सवाल शायद पहली नजर में बुनियादी है, लेकिन मैं वास्तव में इसे विवरण में समझना चाहूंगा।
जिस तरह से मैं क्वांटम यांत्रिकी में चरण की भूमिका को समझता हूं वह यह है कि जैसे ही हमारे पास एक भौतिक क्वांटम अवस्था होती है: $|\psi\rangle$, इसके द्वारा गुणा करें $e^{i \phi}$भौतिक स्थिति को नहीं बदलता है। हम कहते हैं कि समग्र चरण एक भूमिका नहीं निभाता है।
और उदाहरण के लिए, राज्य में: $|\psi \rangle = |a \rangle + | b \rangle$, मैं एक वैश्विक चरण जोड़ सकता हूं $|\psi \rangle$, लेकिन नहीं $|a \rangle$ या $|b \rangle$ क्योंकि तब दोनों के बीच एक सापेक्ष चरण दिखाई दे सकता है और परिणामी अवस्था समान नहीं होगी (सिवाय, यदि दोनों में एक ही चरण जोड़ा जाता है)।
लेकिन फिर, चरण की कठोरता को औपचारिक रूप से कैसे निर्धारित किया जाए। जब हम कहते हैं कि "समग्र चरण" एक भूमिका नहीं निभाता है: कुल मिलाकर क्या सम्मान है? कल्पना कीजिए कि मेरे पास भौतिक अवस्था है$|\psi \rangle$, मैं चाहूं तो इसमें एक चरण जोड़ सकता हूं। लेकिन जैसे ही मैं कुछ बनाने की कल्पना करता हूं$|\phi \rangle = |\psi \rangle + |\psi' \rangle$तब मैं ऐसा नहीं कर सकता। और यह थोड़ा विरोधाभासी है क्योंकि पहले, मैं सोच सकता था कि मुझे नहीं पता है कि बाद में राज्य पर$|\phi\rangle$बनाया जाएगा। इसलिए मैं एक चरण जोड़ूंगा, लेकिन मैं ऐसा नहीं कर सकता ...? (मुझे आशा है कि मैं यहाँ स्पष्ट हूँ)।
मेरा सवाल है: चीजों को परिभाषित करने का उचित और कठोर तरीका क्या है ? क्या हमें पहले गणितीय आधारों को गणितीय "आधार" राज्यों से अलग करना है? यदि हां, तो हम भौतिक अवस्थाओं को कैसे परिभाषित करते हैं? क्या वे उस प्रणाली के राज्य हैं जिसका हम वर्णन करना चाहते हैं? और फिर हम कहते हैं कि भौतिक अवस्थाओं में एक चरण जोड़ने से भौतिकी में कोई भूमिका नहीं होती है, लेकिन राज्यों को आधार बनाने के लिए नहीं ? लेकिन जो भौतिक अवस्था है, वह आधार अवस्था बन सकती है, जैसे$|\psi \rangle$ मेरे उदाहरण में $|\phi \rangle = |\psi \rangle + |\psi' \rangle$
प्रश्न का एक उदाहरण जो मुझे परेशान करता है, चलो मान लेते हैं $X$ तथा $Y$ मैं दो क्वांटम राज्य हैं, मैं गणना करता हूं $\langle X |Y \rangle$और मुझे एक जटिल संख्या मिली। क्या मैं के चरण को संशोधित कर सकता हूं$Y$ताकि मेरी संख्या अंत में सकारात्मक हो जाए? क्या मुझे ऐसा करने की अनुमति है? मुझे लगता है कि अगर$X$ तथा $Y$दो भौतिक राज्य हैं, लेकिन अगर उनमें से एक आधार राज्य है तो मैं नहीं कर सकता। जो ठीक चीजों को परिभाषित करने के मेरे सवाल पर वापस आता है।
जवाब
बेसिस बनाम नहीं-आधार प्रासंगिक भेद नहीं है, क्योंकि कोई भी वेक्टर एक आधार का हिस्सा हो सकता है। हालाँकि, मुझे लगता है कि आप क्या कर रहे हैं, और आप सही हैं, यह है कि आपको गणितीय केट से भौतिक स्थिति को अलग करना होगा। इसे अमूर्त रूप से समझना कठिन हो सकता है, तो चलिए लाइन पर तरंगों के साथ काम करते हैं। मुख्य बिंदु हैं:
कुछ दिया $\psi$, $\psi$ तथा $e^{i\alpha}\psi$विभिन्न वैक्टर हैं, और वे एक ही भौतिक अवस्था का प्रतिनिधित्व करते हैं। भौतिक और गणितीय वस्तुओं के बीच पत्राचार एक-से-कई है।
एक ऑपरेशन के रूप में सुपरपोज़िशन को राज्यों पर नहीं बल्कि गणितीय वैक्टर पर परिभाषित किया गया है; मुझे लगता है कि यह महत्वपूर्ण भ्रमित करने वाला बिंदु है। किसी और फंक्शन को देखते हुए$\phi$, आप भौतिक राज्यों द्वारा प्रतिनिधित्व के बीच एक सुपरपोजिशन नहीं बना सकते हैं $\phi$ तथा $\psi$चरण अस्पष्टता के कारण। आपको वास्तव में एक विशिष्ट फ़ंक्शन चुनना होगा।
इसका परिणाम यह है कि भले ही $\psi$ तथा $e^{i\alpha}\psi$ उसी राज्य का प्रतिनिधित्व करें, $\phi + \psi$ तथा $\phi + e^{i\alpha}\psi$ऐसा न करें। आप एक चरण द्वारा पूरे सुपरपोज़िशन को गुणा कर सकते हैं, लेकिन सारांश को नहीं।
मुझे लगता है कि भ्रम के बारे में आता है क्योंकि हमें बार-बार कहा जाता है कि एक स्थिर चरण से संबंधित दो कार्य समान हैं, लेकिन इस बात पर जोर नहीं दिया जाता है कि औपचारिकता को अभी भी कार्यों के उपयोग की आवश्यकता है। $\psi$ तथा $e^{i\alpha}\psi$उसी भौतिक अवस्था का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन हम उन्हें पूरी तरह से गणितीय रूप से समकक्ष नहीं ले सकते हैं। हमें अस्पष्टता से निपटना होगा, क्योंकि जैसा मैंने कहा, आप राज्यों के नहीं बल्कि कार्यों के सुपरपोजिशन लेते हैं ।
और हां, आप के चरण को बदल सकते हैं $\langle X | Y \rangle$ की भौतिक व्याख्या को बदलने के बिना होगा $|X\rangle$ तथा $|Y\rangle$। लेकिन आंतरिक उत्पाद एक गणितीय ऑपरेशन है; यदि आप इसे एक नमूदार मात्रा से संबंधित करते हैं, तो चरण समाप्त हो जाएगा।
आसान तरीका: जिस तरह आप संभावित ऊर्जा के लिए शून्य चुनने के बारे में सोचते हैं उसी तरह से एक वैश्विक चरण चुनने के बारे में सोचें। आप जहां चाहें, संभावित ऊर्जा के शून्य को सेट करने की अनुमति देते हैं (जैसे किनेमेटिक्स की समस्याओं के लिए, आप गुरुत्वाकर्षण क्षमता को जमीनी स्तर पर शून्य होने के लिए सेट कर सकते हैं), लेकिन एक बार जब आप एक विकल्प बना लेते हैं तो आपको लगातार रहना होगा। आप कुछ स्थानों पर समुद्र तल पर शून्य और दूसरों में समुद्र के तल पर शून्य नहीं हो सकते।
उसी तरह, आप अपनी पसंद के अनुसार वैश्विक चरण को बदल सकते हैं, लेकिन आपको लगातार बने रहना होगा। यदि आप एक चरण जोड़ते हैं$| X \rangle$ तो यह बन जाता है $e^{i\phi} | X \rangle$, फिर $| Y \rangle $ भी बनना चाहिए $e^{i\phi} | Y \rangle$। यह ओपी में अंतिम प्रश्न का उत्तर देता है, क्योंकि यदि$|Y\rangle \rightarrow e^{i\phi} |Y\rangle$, फिर $\langle Y|\rightarrow e^{-i\phi}\langle Y|$, क्योंकि ब्रा केसेट्स के संयुग्म हैं (इसलिए चरण भी संयुग्मित है)। इसलिये$\langle Y | X \rangle \rightarrow \langle Y | e^{-i\phi} e^{i\phi} | X \rangle = \langle Y | X \rangle$अपरिवर्तित है। समग्र चरण का कोई भौतिक अर्थ नहीं है।
वास्तव में, संभावित ऊर्जा के शून्य का विकल्प वैश्विक चरण की पसंद से निकटता से संबंधित है, क्योंकि यदि आप कुछ ऊर्जा ऑफसेट जोड़ते हैं $E$ हर राज्य में, फिर समय के बाद $t$ हर राज्य में एक अतिरिक्त (वैश्विक) चरण होगा $e^{iEt/\hbar}$। इसलिए ऊर्जा का चयन करना और वैश्विक चरणों को चुनना लगभग एक ही बात है।
द मैथ वे: हम आमतौर पर क्वांटम यांत्रिकी समस्याओं के बारे में सोचते हैं, जैसा कि हिल्बर्ट स्पेस में गणितीय रूप से दर्शाया जाता है। यह बिल्कुल सटीक नहीं है। क्वांटम यांत्रिकी समस्याओं के लिए वास्तविक सेटिंग "रे स्पेस" है , उर्फ "प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस" , जो अनिवार्य रूप से इस धारणा का गणितीय औपचारिककरण है कि वैश्विक चरण कोई मायने नहीं रखते। विवरण बहुत सरल हैं, इसलिए मैं उन्हें यहां नहीं दोहराऊंगा। महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि क्वांटम यांत्रिकी ठीक से "जीवन" में है, जिसमें वैश्विक चरण की कोई धारणा नहीं है। यह संबद्ध हिल्बर्ट स्पेस में काम करने के लिए आमतौर पर अधिक सुविधाजनक है, हालांकि, और ऐसा करने के लिए आपके द्वारा भुगतान की जाने वाली एकमात्र कीमत (एक प्रमुख अपवाद के साथ)$^1$) वैश्विक चरण की अस्पष्टता है।
तो दिन के अंत में, रिज़ॉल्यूशन ऊपर के समान है: एक बार जब आप अपनी क्वांटम यांत्रिकी समस्या को सेट कर लेते हैं, यदि आप रे स्पेस की जगह हिल्बर्ट स्पेस में काम करना चुनते हैं, तो आपको चरण का एक वैश्विक विकल्प बनाना होगा । आपको बस लगातार याद रखने की जरूरत है, ताकि सभी राज्यों को एक ही वैश्विक चरण दिया जाए।
- रे स्पेस की बजाय हिल्बर्ट स्पेस में काम करने के लिए एक पकड़ है जब यह समरूपता की बात आती है। यह पता चलता है कि रे स्पेस, हिल्बर्ट स्पेस की तुलना में थोड़ा अधिक सामान्य समरूपता संचालन की अनुमति देता है, और विशेष रूप से एंटी-रैखिक संचालन की अनुमति है। इस पर अधिक के लिए विग्नर प्रमेय देखें ।
मुझे लगता है कि आप एक सादृश्य से शास्त्रीय तरंगों से लाभ उठा सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्रकाश लें और कल्पना करें कि विद्युत क्षेत्र एक सतत साइन लहर है। अपने आप से, यह चरण "निरपेक्ष" नहीं है क्योंकि आप अपने समय को परिभाषित कर सकते हैं$t=0$ लहर के साथ किसी भी बिंदु पर होना, और यह किसी भी भौतिक रूप से औसत दर्जे की संपत्ति जैसे आयाम, ध्रुवीकरण, आदि पर कोई फर्क नहीं पड़ेगा।
चरण मायने रखता है जब आप एक से अधिक तरंगों के साथ काम करना शुरू करते हैं क्योंकि उनके बाद भौतिक रूप से सार्थक चरण अंतर होता है । गणितीय रूप से, यह तब चलन में आएगा जब आप दो या दो से अधिक तरंगों को जोड़ या गुणा कर रहे हों (उदाहरण के लिए एक व्यवधान या अरेखीय मिश्रण प्रयोग में)। जोड़ और गुणा संचालन मामलों के बीच समान नहीं हैं जब लहरें चरण में होती हैं और जब वे चरण से बाहर होती हैं:$$ \sin(\omega t)\cos(\omega t) \ne \sin(\omega t)\sin(\omega t) $$ $$ \sin(\omega t) + \cos(\omega t) \ne \sin(\omega t) + \sin(\omega t)$$ दूसरी ओर, अगर मैं सिर्फ समय-औसत माप रहा हूं $\langle .\!\rangle$ एक एकल प्रकाश लहर की शक्ति, चरण कोई फर्क नहीं पड़ता: $$ \langle \sin(\omega t)^2 \rangle = \langle \cos(\omega t)^2 \rangle = 1/2$$
क्वांटम यांत्रिकी के बारे में बात यह है कि शारीरिक रूप से औसत दर्जे की मात्राओं में हमेशा वेवफ्लेक्शंस गुणा करना शामिल होता है (जैसे$\langle \psi |\psi \rangle$ या $\langle \psi | H |\psi \rangle$), इसलिए किसी भी मामले में जहां वे तरंगें एक दूसरे के साथ चरण से बाहर हो सकती हैं, चरण मायने रखता है। बेशक, यह मामला नहीं होगा$\langle \psi |\psi \rangle$, जैसा कि ऊपर, लेकिन अगर $H$ जटिल है, और सामान्य तौर पर यह है, तो चरण के लिए मायने रखेगा $\langle \psi | H |\psi \rangle$।
नोट: प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस के बारे में नीचे टिप्पणी देखें ।
अगर $|a\rangle$ एक केट तो है $e^{i\phi}|a\rangle$एक केट भी है। लेकिन सामान्य रूप में
$$ |a\rangle \neq e^{i\phi}|a\rangle $$
इसके अलावा, $\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle$ एक केट भी है लेकिन सामान्य तौर पर
$$ |a\rangle \neq \frac{1}{\sqrt{2}} |a\rangle $$
कोई भी क्वांटम यांत्रिकी में नहीं कह रहा है कि केट्स $|a\rangle$, $e^{i\phi}|a\rangle$ तथा $\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle$ वैक्टर या केट के रूप में एक दूसरे के समतुल्य हैं।
जो चल रहा है, वह यह है कि क्वांटम यांत्रिकी में, किट्स का स्थान राज्यों के स्थान की तुलना में बड़ा (कुछ अर्थों में) है । एक गणितीय अर्थ में हम कह सकते हैं कि एक राज्य kets के अंतरिक्ष पर एक समतुल्य वर्ग है।
मान लीजिए हमारे पास हिल्बर्ट स्पेस है $\mathcal{H}$। लश्कर$|a\rangle, |b\rangle \in \mathcal{H}\setminus{0}$(शून्य वेक्टर को छोड़कर हिल्बर्ट स्थान)। समतुल्य संबंध को परिभाषित करें $\sim$।
$|a\rangle \sim |b\rangle$ अगर वहाँ मौजूद है $\phi \in [0, 2\pi)$ ऐसा है कि $$ \frac{|a\rangle}{\sqrt{\langle a|a\rangle}} = e^{i\phi}\frac{|b\rangle}{\sqrt{\langle b|b\rangle}} $$ यही है, का सामान्यीकृत संस्करण $|a\rangle$ के सामान्यीकृत संस्करण के लिए केवल एक चरण कारक से संबंधित है $|b\rangle$। अब हम समतुल्यता वर्ग को परिभाषित कर सकते हैं$|a\rangle$: $$ \left[|a\rangle\right] = \left\{|b\rangle \in \mathcal{H}\setminus 0: |b\rangle \sim |a\rangle \right\} $$ यानि सभी केट का सेट $|b\rangle$ के बराबर हैं $|a\rangle$ तुल्यता संबंध के तहत $\sim$। अब हम राज्यों के समुच्चय को परिभाषित कर सकते हैं$$ \mathcal{S} = \left\{\left[|a\rangle\right]: |a\rangle \in \mathcal{H}\setminus 0\right\} $$ यही है, राज्यों का सेट, $\mathcal{S}$ भीतर सभी समतुल्य वर्गों का समूह है $\mathcal{H}\setminus 0$ समतुल्य संबंध के तहत $\sim$।
उदाहरण के लिए ध्यान दें, कि
\begin{align} \left[|a\rangle \right] = \left[e^{i\phi}|a\rangle \right] = \left[\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle \right] \end{align}
यह मूल रूप से भौतिकविदों का कठोर कथन है कि "सभी राज्यों को सामान्य होना चाहिए" और "वैश्विक चरणों में कोई भौतिकता नहीं है"।
उदाहरण:
\begin{align} |\psi_1\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|a\rangle + |b\rangle \right)\\ |\psi_2\rangle =& e^{i\phi}\frac{1}{\sqrt{2}} \left(|a\rangle + |b\rangle \right)\\ |\psi_3\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|a\rangle + e^{i\phi}|b\rangle \right)\\ \end{align}
हम सीधे की परिभाषा से देख सकते हैं $\sim$ उसके ऊपर
\begin{align} |\psi_1\rangle \sim |\psi_2 \rangle \end{align}
तो इसका मतलब है कि
\begin{align} \left[|\psi_1\rangle\right] = \left[|\psi_2\rangle\right] \end{align}
वह है, भले ही केट $|\psi_1\rangle$ तथा $|\psi_2\rangle$ समान नहीं हैं, जो राज्य उनका प्रतिनिधित्व करते हैं, $\left[|\psi_1\rangle\right]$ तथा $\left[|\psi_2\rangle\right]$, कर रहे हैं बराबर।
लेकिन क्योंकि $|\psi_3\rangle$ एक रिश्तेदार चरण शामिल है जो हमारे पास सामान्य रूप से है
\begin{align} |\psi_3\rangle \nsim |\psi_1\rangle \end{align}
तो सामान्य तौर पर
\begin{align} \left[|\psi_3\rangle\right] \neq \left[|\psi_1\rangle\right] \end{align}
इस मामले में केट्स $|\psi_1\rangle$ तथा $|\psi_3\rangle$समान और संबंधित राज्य नहीं हैं $\left[|\psi_1\rangle\right]$ तथा $\left[|\psi_3\rangle\right]$नहीं के बराबर भी हैं ।
हालाँकि, यह सब भौतिकविदों के लिए बहुत अधिक क्रियात्मक है। भौतिक विज्ञानी अंकन के सामान्य दुरुपयोग करते हैं और बस राज्यों की पहचान करते हैं$\left[|a\rangle\right] \in \mathcal{S}$ उनके प्रतिनिधि के साथ $|a\rangle$और बस ऊपर उल्लिखित दो नियमों को ध्यान में रखें। इसलिए आपको यह ध्यान रखना होगा कि क्वांटम यांत्रिकी करते समय, चाहे आप किसी भी समय काम कर रहे हों, वास्तव में एक राज्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए है या यदि आप सिर्फ केट में हेरफेर कर रहे हैं। यह भ्रामक हो सकता है क्योंकि क्वांटम यांत्रिकी में राज्यों को केट के संदर्भ में लिखा गया है ।
उपरोक्त उदाहरणों के संदर्भ में, भौतिक विज्ञानी बस यही कहेंगे $|\psi_1\rangle$ तथा $|\psi_2\rangle$ एक ही राज्य का प्रतिनिधित्व करते हैं (तथ्यों द्वारा उचित है कि 1] दोनों केट सामान्यीकृत हैं और 2] वे केवल एक वैश्विक चरण से भिन्न होते हैं) जबकि $|\psi_3\rangle$ हालांकि एक अलग राज्य का प्रतिनिधित्व करता है $|\psi_{1,2,3}\rangle$ तकनीकी रूप से केट हैं और वे नहीं हैं जो मेरे उपचार में प्रत्येक अभिजन से प्रतिष्ठित हैं।
इसके अलावा, मैं नोट करूंगा कि यह क्वांटम मैकेनिक्स को पूरी तरह से केट के संदर्भ में तैयार करने के लिए मान्य होगा (शून्य केट को छोड़कर क्योंकि यह अजीब है)। उस स्थिति में हम कहेंगे कि वास्तव में किट्स द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। हमें केवल संभावनाओं के परिकलन से पहले एक स्पष्ट सामान्यीकरण कदम को शामिल करने के लिए बोर्न नियम को बदलना होगा और हम राज्यों के आसपास ले जाएंगे$|a\rangle$, $e^{i\phi}|a\rangle$ तथा $\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle$जैसा कि कहा गया है कि किसी भी भौतिक माप के सटीक परिणाम देने के लिए ही ऐसा होता है। इसके बजाय, भौतिकविद् छद्म संबंध विचार को सहज भाव से लेकिन औपचारिकता के बिना अपनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि भौतिक विज्ञानी अंतर्ज्ञान से अच्छी तरह से काम करते हैं और केवल यह कहने के लिए खुश हैं कि सभी राज्यों को सामान्य बनाने की आवश्यकता है और वैश्विक चरण के अनुसार अलग-अलग राज्य समान हैं।
ओपी के साथ थोड़ा कनेक्ट करने के लिए: ओपी भौतिक राज्यों को क्या कहता है, मैं राज्यों को कॉल करता हूं और ओपी कॉल के आधार पर मैं राज्यों को कॉल कहता हूं। मुझे लगता है कि मेरी भाषा यहां एक सुधार है। खासकर जब से हम राज्यों का वर्णन करने के लिए उपयोग करते हैं, किसी विशेष आधार से एक साथ एकत्र होने की आवश्यकता नहीं है। मैं एक राज्य को परिभाषित कर सकता था$|\psi\rangle = |\uparrow\rangle + |+\rangle$ कहाँ पे $|\uparrow$ एक स्पिन अप राज्य से चुना गया है $z$एक स्पिन के लिए -basis और $|+\rangle$ में स्पिन अप राज्य है $x$-बासिस। मुद्दा यह है कि जब हम लिखते हैं कि हम इसे kets का उपयोग करते हैं।
प्रश्न का उत्तर देने के लिए: "मेरा प्रश्न है: चीजों को परिभाषित करने का उचित और कठोर तरीका क्या है?" मुझे लगता है कि मैंने राज्यों के संदर्भ में उपर्युक्त पर्याप्त उत्तर दिया है जो कि केट पर समतुल्यता वर्ग के रूप में दर्शाया गया है।
इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि इस थ्रेड का शीर्षक क्या है: "चरण की भूमिका निभाने या QM में कोई भूमिका नहीं निभाने के बारे में बहुत सटीक रूप से व्याख्या करना"। एक चरण कारक द्वारा भिन्न होने वाले केट्स वास्तव में अलग-अलग किट होते हैं। केवल एक चरण कारक द्वारा भिन्न होने वाले राज्यों द्वारा दर्शाए गए राज्य अलग-अलग राज्य नहीं हैं।
संपादित करें: मैंने केवल अनुमानात्मक हिल्बर्ट स्थान की परिभाषा को देखा, जिसे मैंने यहां फिर से परिभाषित किया है। ऐसा लगता है कि हम इसे अधिक धीमी गति से परिभाषित कर सकते हैं जैसा कि समतुल्य संबंध को परिभाषित करता है$|a\rangle \sim |b\rangle$ अगर वहां कोई मौजूद है $z \in \mathbb{C}$ साथ में $|a\rangle = z|b\rangle$। यह एक झपट्टा में सामान्यीकरण और वैश्विक चरण को कवर करता है। मैं अपनी परिभाषा और पाठ ऊपर छोड़ दूंगा क्योंकि मुझे लगता है कि यह इस बात को उजागर करता है कि यदि हम एक राज्य बनाने के लिए अलग-अलग चरणों के साथ एक साथ रखने के बारे में चिंतित हैं तो हमें एक राज्य बनाने के लिए अलग-अलग मानदंडों के साथ एक साथ रखने के बारे में भी चिंतित होना चाहिए। बेशक मेरा जवाब दर्शाता है कि हम वास्तव में, इस बारे में चिंतित होने की जरूरत नहीं है।
एक समग्र चरण एक ऐसा चरण है जो हिल्बर्ट अंतरिक्ष में वेक्टर के मानक को संरक्षित करता है। यह आंतरिक उत्पादों को संरक्षित किया जा रहा है। क्वांटम राज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष में वैक्टर हैं और सभी माप अंततः आंतरिक उत्पाद हैं जो हिल्बर्ट अंतरिक्ष में वास्तविक संख्या में वैक्टर को मैप करते हैं। इस प्रकार चूंकि एक समग्र चरण आवश्यक रूप से आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करता है, भौतिक माप अप्रभावित हैं।
कुल मिलाकर चरण निम्नलिखित प्रकार के परिवर्तन हैं: $$|\psi\rangle\to e^{i\phi}|\psi\rangle$$ जैसा कि आसानी से देखा जा सकता है, मानदंड संरक्षित है।
अब विचार करें कि हमारा राज्य वास्तव में दो अलग-अलग राज्यों का अधिनायक है: $$|\psi\rangle= c_1|\phi_1\rangle+ c_2|\phi_2\rangle$$ ध्यान दें कि हमारी मूल स्थिति $|\psi\rangle$है वास्तव में राज्यों के इस रैखिक संयोजन$|\phi_1\rangle$ तथा $|\phi_2\rangle$।
अब सिस्टम में मनमाना अतिरिक्त चरण जोड़ें: $$c_1|\phi_1\rangle+ c_2|\phi_2\rangle\to c_1 e^{i\theta_1}|\phi_1\rangle+ c_2 e^{i\theta_2}|\phi_2\rangle $$ एकमात्र तरीका हम आंतरिक उत्पाद को संरक्षित कर सकते हैं, अर्थात मूल राज्य के आंतरिक उत्पाद को वापस पा सकते हैं यदि $\theta_1=\theta_2$ $$c_1|\phi_1\rangle+ c_2|\phi_2\rangle\to e^{i\theta_1}\Big(c_1|\phi_1\rangle+ c_2|\phi_2\rangle\Big) = e^{i\theta}|\psi\rangle$$ यह एक समग्र चरण है।
मैं गणना करता हूं $\langle X |Y \rangle$और मुझे एक जटिल संख्या मिली। क्या मैं के चरण को संशोधित कर सकता हूं$Y$ ताकि मेरी संख्या अंत में सकारात्मक हो जाए?
आंतरिक उत्पाद के किसी भी संशोधन का मतलब है कि आप राज्य को बदल रहे हैं और दो मामले दो अलग-अलग भौतिक प्रणालियों के अनुरूप हैं।
दोहरे भट्ठा प्रयोग के उदाहरण पर विचार करें। चरण अंतर दो अलग रास्तों के लिए इसी दोनों राज्यों के बीच क्या हस्तक्षेप पैटर्न की ओर जाता है है। स्लिट की चौड़ाई में परिवर्तन करने से हमारी अपरिवर्तित स्लिट चौड़ाई की तुलना में रास्तों के बीच एक अतिरिक्त चरण अंतर होता है। इसका मतलब है कि हस्तक्षेप पैटर्न बदल दिया गया है। एक अलग शारीरिक अवस्था में ले जाना।
दूसरी ओर, अगर हम किसी चीज को किसी अन्य कोण से छोड़ते हुए पूरे सिस्टम को घुमाते हैं, तो अंतिम पैटर्न अपरिवर्तित होता है, जिसमें समग्र कोण द्वारा घुमाया गया होता है। यह समग्र चरण का प्रभाव है।
यहां पहले से ही बहुत सारे अच्छे जवाब हैं, लेकिन अभी भी कुछ छोटी चीजें हैं जो एक जोड़ सकती हैं जो इस मुद्दे को स्पष्ट करने में मदद कर सकती हैं।
क्वांटम सिद्धांत का उद्देश्य यह गणना करना है कि किसी प्रयोग में क्या देखा जाएगा। इस तरह की संगणना फार्म की होती है$\langle \psi | \hat{O} |\psi\rangle$, कहाँ पे $\hat{O}$एक ऑपरेटर है जो अवलोकन का प्रतिनिधित्व करता है। पहले से ही यहां आप देख सकते हैं कि एक वैश्विक चरण रद्द हो जाएगा और इसलिए गणना के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।
क्वांटम सिद्धांत के लिए इस उद्देश्य के कारण, एक क्वांटम राज्य को अक्सर एक घनत्व ऑपरेटर के रूप में दर्शाया जाता है। शुद्ध अवस्था के लिए यह है$$ \hat{\rho} = |\psi\rangle \langle \psi |$$ और अब अवलोकन की गणना ट्रेस ट्रे द्वारा की जाती है$\{\hat{\rho}\hat{O} \}$।
ध्यान दें कि वैश्विक चरण घनत्व ऑपरेटर में रद्द हो जाएगा। हालांकि, केट के विस्तार में मौजूद रिश्तेदार चरण बने रहेंगे। कोई यह तर्क दे सकता है कि सभी भौतिक क्वांटम राज्यों को ऐसे घनत्व ऑपरेटरों के संदर्भ में दर्शाया जा सकता है और इसलिए वैश्विक चरण कभी भी किसी अवलोकन के लिए भौतिक अंतर नहीं बनाता है।
लेकिन रिश्तेदार चरणों के बारे में क्या? जब कोई नया शब्द विस्तार में जोड़ा जाता है तो क्या वैश्विक चरण एक सापेक्ष चरण नहीं बन जाएगा? यहां हमें यह सोचने की जरूरत है कि प्रकृति कैसे काम करती है। क्वांटम राज्य कुछ एकात्मक प्रक्रिया के अनुसार विकसित होते हैं। इसका मतलब यह है कि क्वांटम राज्य एक हिल्बर्ट स्थान पर रहता है जहां उस स्थान के आधार के संदर्भ में इसका विस्तार किया जा सकता है। यह आधार कभी नहीं बदलता। एकात्मक विकास जो सभी करता है वह विस्तार में सभी आधार तत्वों के भार या गुणांक को बदलना है।
ऐसा हो सकता है कि एकात्मक विकास शुरू में शून्य होने के बाद एक आधार तत्व को गैर-शून्य गुणांक देगा। तो फिर इस तत्व को विस्तार से जोड़ा जा सकता है। हालांकि, इस प्रक्रिया की इकाई की आवश्यकता होगी कि अन्य तत्व के गुणांक भी बदलते हैं। परिणामस्वरूप एक व्यक्ति परिवर्तन से पहले राज्य के वैश्विक चरण के रूप में अन्य तत्वों के सापेक्ष चरण को भेद नहीं कर पाएगा। आशा है कि यह समझ में आता है।