जैकोबी एलिप्टिक कार्यों से जुड़े कुछ अभिन्न लोगों की गणना करें
मैं फॉलो इंटीरल्स का मूल्यांकन करना चाहता हूं $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ तथा $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ कहाँ पे $\text{sn}$, $\text{dn}$ तथा $\text{cn}$जैकोबी इलिप्टिक स्नॉयडल , डीनोइडल और सिनोइडल फ़ंक्शन हैं,$K:=K(k)$ पहली तरह और संख्या का पूर्ण अण्डाकार अभिन्न है $k \in \left(0,1\right)$ मापांक कहा जाता है।
मैंने पहले ही संदर्भ का परामर्श लिया $[1]$कुछ सूत्र की तलाश में जो मुझे मदद करता है, लेकिन मुझे कुछ नहीं मिला। क्या इन अभिन्नताओं का स्पष्ट रूप है? क्या कोई अन्य संदर्भ हैं जो मैं मेरी मदद करने के लिए संदर्भित कर सकता हूं?
$[1]$पीएफ बर्ड। एमडी फ्रीडमैन। इंजीनियर्स और वैज्ञानिक के लिए अण्डाकार इंटीग्रल की हाथ बुक। स्प्रिंगर-वर्लग न्यू यॉर्क हीडलबर्ग बेरलीम,$1971$।
जवाब
मूलभूत संबंधों के माध्यम से (B & F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ हम पहले दिए गए अभिन्न को बदल सकते हैं $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ B & F 364.03 तक हम इसे पूरी तरह से तर्कसंगत अभिन्न के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जिसका आसानी से मूल्यांकन किया जाता है: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ जब हम दूसरे दिए गए अभिन्न अंग को बदल देते हैं $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ जिस बिंदु पर हमें पता चलता है कि यह पहले दिए गए अभिन्न अंग का सिर्फ एक विशेष मामला है $k^2=1$, तो हम तुरंत परिणाम के रूप में मिलता है $\frac\pi{16}$।