जटिल संख्याओं पर स्थिति चक्रीय चतुर्भुज बनाने के लिए।
जटिल संख्याओं पर विचार करें $z,z^2,z^3,z^4$उस क्रम में जो एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं। अगर$\arg z=\alpha$ तथा $\alpha$ में निहित है $[0,2\pi]$मानों को बांधें $\alpha$ ले सकते हैं।
मैंने एक प्रतियोगी परीक्षा में इस प्रश्न का सामना किया। मैंने प्राप्त करने के लिए चक्रीय चतुर्भुज की संपत्ति का उपयोग करने की कोशिश की $$\arg\left(\frac{z^3-z^4}{z-z^4}\right)+\arg\left(\frac{z-z^2}{z^3-z^2}\right)=\pi$$ यह सरलीकृत सरफान हो सकता है लेकिन मदद नहीं करता है।
मैंने कोनी प्रमेय का उपयोग करने की भी कोशिश की लेकिन कोई फायदा नहीं हुआ। उत्तर दिया गया अल्फ़ा झूठ है$(0,\frac{2\pi}{3})and(\frac{4\pi}{3},2\pi)$
जवाब
यहाँ प्रस्तुत करने का एक वैकल्पिक तरीका है $|z|=1$ - गणितीय प्रेरण द्वारा, सभी चीजों का।
लगता है कि $z,z^2,z^3,z^4$ नॉनजेरो के लिए एक सर्कल पर झूठ $z$। फिर सभी तत्वों को गुणा करके$z$ हम यह अनुमान लगाते हैं $z^2,z^3,z^4,z^5$ एक सर्कल पर भी झूठ बोलते हैं, जो अतिव्यापी तीन बिंदुओं के कारण पहले सर्कल के समान होना चाहिए $z^2,z^3,z^4$। इसी तरह$z^6,z^7,...$ उसी घेरे पर लेट जाओ।
अब दूसरे रास्ते से जाओ। दिया हुआ$z,z^2,z^3,z^4$ द्वारा विभाजित एक चक्र पर $z$, तब फिर $1,z,z^2,z^3$एक सर्कल पर भी झूठ बोलें जो फिर से शुरुआती के समान है। इस प्रक्रिया को दोहराते हुए हम पाते हैं$z^{-1},z^{-2},...$ इस घेरे पर भी लेट जाओ।
इस प्रकार एक ही सर्कल में फॉर्म के साथ सभी बिंदु होते हैं $z^n$ सभी पूर्णांकों के लिए $n$, सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य। लेकिन सर्कल को बाध्य किया जाना है और केवल पहचानी गई शक्तियों का सेट केवल के लिए बाध्य है$|z|=1$।
दिया हुआ $|z|=1$, कैसे तर्क प्रतिबंधित है, परिभाषा की बात है। यदि हमें अंक चाहिए$z,z^2,z^3,z^4$ चतुर्भुज में घूर्णी क्रम में होना है, तो हमारे पास दो मामलों में से एक होना चाहिए:
यदि आदेश वामावर्त है, तो $0<\alpha<2\pi/3$ क्योंकि हमारे पास होने वाले घूर्णी आदेश को संरक्षित करने के लिए $\arg z^4-\arg z=3\alpha<2\pi$।
यदि आदेश दक्षिणावर्त है, तो व्युत्क्रम शक्तियां $z^{-1},z^{-2},z^{-3},z^{-4}$ वामावर्त क्रम में हैं और हमें अब आवश्यकता है $\arg z^{-4}-\arg z^{-1}=3\alpha<2\pi$। यह दूसरा सेट देता है$4\pi/3<\alpha<2\pi$ अगर तर्क दिया जाए $[0,2\pi)$।
लेकिन, यकीनन, अंक अभी भी चक्र पर झूठ हैं, भले ही वे इस घूर्णी क्रम में नहीं हैं, इसलिए चक्रीय चतुर्भुज मौजूद है जब तक कि यह मेल नहीं खाता है। ऐसा संयोग तभी होता है जब$n\alpha$ के कई है $2\pi$ के लिये $n\in\{1,2,3\}$। तो इस दृष्टिकोण से$\alpha$ सब में कुछ भी हो सकता है $[0,2\pi]$ के सिवाय $0,2\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$।
टॉलेमी द्वारा हम प्राप्त करते हैं: $$|z-z^2|\cdot|z^3-z^4|+|z-z^4|\cdot|z^2-z^3|=|z-z^3|\cdot|z^2-z^4|$$ या $$|z|+|z^2+z+1|=|(z+1)^2|.$$ अब, हम एक त्रिकोण असमानता का उपयोग कर सकते हैं।
आईडी स्था, के लिए $|z|=r$ हमने प्राप्त किया: $$(\cos\alpha,\sin\alpha)||(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1,r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha),$$ जो देता है $$\sin\alpha(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1)=\cos\alpha(r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha)$$ या $$\sin\alpha=r^2\sin\alpha$$ और तबसे $\sin\alpha\neq0$, हमने प्राप्त किया $r=1$।
माइकल के समाधान की तरह, प्राप्त करने के लिए टॉलेमी का उपयोग करें $|z|+|z^{2}+z+1|=|z^{2}+2z+1|$।
चित्र देखें, यह स्पष्ट है कि $|z^{2}|=1$ और फलस्वरूप $|z|=1$। के लिये$-\frac{2\pi}{3}\leq\alpha\leq\frac{2\pi}{3}$समीकरण मान्य है। संकेत: किस कोण पर$\alpha$ की दिशा करता है $z^{2}+z+1$ के विपरीत हो जाते हैं $z$?
मापांक मुद्दे के लिए, हमें शास्त्रीय तुल्यता का उपयोग करें ( यहाँ देखें ):
$$a,b,c,d \ \text{constitute a cyclic quadrilateral} \ \iff \ $$ $$\underbrace{[a,c;b,d]}_{\text{cross ratio}}=\frac{(b-a)}{(b-c)} /\frac{(d-a)}{(d-c)} \ \text{is real}\tag{1}$$
हमारे मामले में, (1) बन जाता है:
$$[z,z^3;z^2,z^4]=\left(\frac{z^2-z}{z^2-z^3}\right) \times \left(\frac{z^4-z^3}{z^4-z}\right) \in \mathbb{R}\tag{2}$$
विशेष रूप से आने वाले विभिन्न सरलीकरणों को ध्यान में रखते हुए $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, (2) के बराबर है:
$$z+1+\tfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \ \iff \ Im\left(z+1+\tfrac{1}{z}\right)=0$$
अन्यथा कहा, के साथ $z=re^{i\theta}$,
$$(r-\tfrac1r) \sin(\theta)=0$$
जैसा $\theta \ne k \pi$ (इस तरह के मूल्य पतित चतुर्भुजों को जन्म देते हैं), हमने आवश्यक रूप से $r-\tfrac1r=0$, दे रहा है $r=1$।
कोण समस्या के लिए, हम मान लेते हैं कि$z=re^{i \theta}$ साथ से $0<\theta<\pi$ सामान्यता के नुकसान के बिना (यह सम्मान के साथ एक समरूपता तक है $x$-एक्सिस)। यह एक तर्क बनाने के बराबर है$1,z,z^2,z^3$ जो अंक प्राप्त कर रहे हैं $z,z^2,z^3,z^4$ द्वारा a $-\theta$रोटेशन। यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि एक आवश्यक शर्त है$z^3$ से कम तर्क है $2 \pi$ (अन्यथा, अंकों का क्रम $1$ तथा $z^3$सम्मानित नहीं किया जाएगा)। यह स्थिति$arg(z^3)<2 \pi$ देता है
$$0<3\alpha<2\pi \ \iff \ 0<\alpha<2\pi/3\tag{3}$$
इसके अलावा, यह स्थिति वास्तव में पर्याप्त है: सभी $\alpha$s सत्यापन (3) एक पर्याप्त समाधान दे।