का एकीकरण $2$-भारी प्रक्षेपण का उपयोग कर क्षेत्र पर सुधार
चलो $\omega$ बनो $2$ प्रपत्र $\omega = x \, dy \wedge dz - y \, dx \wedge dz + z \, dx \wedge dy$ पर $S^2$। मैं एकीकृत करना चाहता हूं$\int_{S^2} \omega$ परिभाषा का उपयोग करते हुए, टकसाली प्रक्षेपण के साथ ${\varphi}^{- 1} : {\mathbb{R}}^2 \to S^2 \setminus \{(0 , 0 , 1)\}$ के द्वारा दिया गया $$ {\varphi}^{- 1}(u , v) = \left(x = \frac{2 u}{1 + u^2 + v^2} , y = \frac{2 v}{1 + u^2 + v^2} , z = \frac{u^2 + v^2 - 1}{1 + u^2 + v^2}\right). $$ फिर $$ \int_{S^2} \omega = \int_{{\mathbb{R}}^2} {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega). $$ मैं हिसाब लगाने के लिए आगे बढ़ा ${({\varphi}^{- 1})}^*(\omega)$। यह है$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) + z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy). $$ उदाहरण के लिए, $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) = \frac{\partial x}{\partial u} \, du + \frac{\partial x}{\partial v} \, dv = \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ और इसी तरह $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ तथा $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = 4 \left(\frac{u}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv\right). $$ अब हम बाहरी उत्पादों की गणना करते हैं: $$ x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - 4 \frac{{(u^2 + v^2)}^2 - 2 (u^2 + v^2) + 1}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv. $$ इसलिए $$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = \frac{4}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} (- 2 u^2 - 2 v^2 - 1 - u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \, du \wedge dv $$अगर मुझसे कोई गलती नहीं हुई। लेकिन मैं इस अभिव्यक्ति के साथ कैसे आगे बढ़ सकता हूं? दूसरी ओर, मुझे पता है कि अभिन्न होना चाहिए$4 \pi$।
जवाब
अब तक आपके परिणाम वास्तव में सभी सही हैं। आगे बढ़ने के लिए, आपको बस सभी अभिव्यक्तियों के विस्तार में थोड़ा कम उत्सुक होने की आवश्यकता है, लेकिन अधिक फैक्टरिंग का विकल्प चुनें। विशेष रूप से, के लिए परिणाम$(\phi^{-1})^* (z\, dx\wedge dy)$तथ्य किया जा सकता है। अंश वास्तव में सिर्फ है$4(u^2+v^2-1)^2$। जब आप अन्य दो शब्दों का पुलबैक जोड़ते हैं, तो आप जोड़ रहे हैं$16(u^2+v^2)$अंश को। इस प्रकार आप प्राप्त करते हैं$4(u^2+v^2+1)^2$, जो हर के साथ बड़े करीने से रद्द करता है।
वैकल्पिक रूप से, यदि आप के विस्तार के साथ पर्याप्त परिचित हैं $(x+y+z)^2$, आप सीधे पहचान सकते हैं कि आपके अंतिम परिणाम का अंश क्या है $4(u^2+v^2+1)^2$।
अभिन्न के साथ आगे बढ़ने के लिए, आप या तो अभिन्न को ध्रुवीय निर्देशांक में बदल सकते हैं $uv$-हवाई जहाज, या यह ट्रिगर प्रतिस्थापन के साथ करते हैं। पूर्व विधि दूर तक आसान है।