का गुणांक $x^7y^6$ में $(xy+x+3y+3)^8$
का गुणांक ज्ञात कीजिए $x^7y^6$ में $(xy+x+3y+3)^8$।
मेरा समाधान:
फ़ैक्टर $(xy+x+3y+3)^8$ जांच $(x+3)^8(y+1)^8$। पाने के लिए a$x^7y^6$ अवधि, हमें गुणांक खोजने की आवश्यकता है $x^7$ पहले कारक में और $y^6$दूसरे कारक में। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, हम गुणांक प्राप्त करते हैं$x^7$ होने के लिए $17496$ तथा $y^6$ होने के लिए $28$। दोनों को गुणा करने पर हमें इसका उत्तर मिलता है$489888.$
हालाँकि, यह गलत है। यह उत्तर कुंजी का दृष्टिकोण है:
$x^7y^6 = (xy)^6 \cdot x = (xy)^5 \cdot x^2 \cdot y$। अभी,$(xy)^6\cdot x$ चुनकर बनाया जा सकता है $6$ $xy$की, $1$ $x$, तथा $1$ $3$, जो अंदर किया जा सकता है $\binom{8}{6}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 56$ तरीके। $(xy)^5\cdot x^2\cdot y$ चुनकर बनाया जा सकता है $5$ $xy$की, $2$ $x$'रेत $1$ $3y$, जो अंदर किया जा सकता है $\binom{8}{5}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = 168$तरीके। इस प्रकार अंतिम गुणांक है$3(56+168) = 672$ तरीके।
मैं पूरी तरह से उनके दृष्टिकोण को समझता हूं, लेकिन यह समझने में असफल हूं कि मेरा काम क्यों नहीं होता। क्या हम प्राप्त करने के तरीकों की संख्या की गणना नहीं करते हैं$x^7$, तथा $y^6$, तो उन्हें गुणा करें?
दिलचस्प रूप से पर्याप्त, मैंने देखा कि जब आप गुणांक की गणना करते हैं $x^1$ (जो है $x^{8-7}$) तथा $y^2$ (जो है $y^{8-6}$), आपको मिला $3\cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{8}{2} = 672$, जो जवाब है। मैं हूँ$99\%$ यकीन है कि यह एक संयोग नहीं है, लेकिन यह तरीका काम क्यों करता है और दूसरा नहीं?
मुझे पता है कि मुझे कोई भी गणना गलत नहीं लगी, क्योंकि मैंने वुल्फरामअल्फा के साथ सब कुछ डबल-चेक किया; त्रुटि मेरी प्रक्रिया में होनी चाहिए।
अग्रिम में धन्यवाद!
(पुएएमसी 2017 बीजगणित बी से प्रश्न)
जवाब
के लिए कारक $x^7$ है $24$ और किसके लिए $y^6$ है $28$, जो उनका गुणन सही उत्तर है। संभवतः आप केवल द्विपद प्रमेय को गलत तरीके से लागू कर रहे हैं।
एक ऐड-ऑन के रूप में, आपका तरीका पूरी तरह से सही है।