का हर तत्व है $\mathbb{R}$ का एक सदस्य $\mathbb{Q}$ इसके पारगमन के आधार के कई सदस्यों के साथ जुड़ा हुआ है?

Dec 25 2020

हाल ही में मैं कुछ हद तक गैर-रचनात्मक समाधान बनाने में रुचि रखता हूं, जिसके आधार पर संक्रमण की अवधारणा का उपयोग किया जाता है$\mathbb{R}$ ऊपर $\mathbb{Q}$, जो विकल्प के Axiom को मानते हुए मौजूद है, लेकिन मैं केवल कुछ बुनियादी क्षेत्र सिद्धांत जानता हूं। मेरी बढ़ती समझ के हिस्से के रूप में, मैं पूछता हूं:

चलो $W$ के लिए पारगमन आधार हो $\mathbb{R}$ ऊपर $\mathbb{Q}$क्या यह सही है$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? क्या होगा अगर हम "परिमित" को "गणनीय" से बदल दें?

जवाब

5 AndreasCaranti Dec 25 2020 at 04:56

शायद मुझे कुछ याद आ रहा है, लेकिन, इस MSE पोस्ट से उदाहरण के लिए उद्धृत :

एक सेट $T$ एक विस्तार क्षेत्र के तत्वों की $k/F$एक है अतिक्रमण आधार अगर

  1. सबके लिए $n$और अलग $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$, कोई भी नॉनजेरो बहुपद नहीं है $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ ऐसा है कि $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
  2. $k$ बीजीय पर है $F(T)$

तो एक तत्व जैसा $\sqrt{2}$ आपके किसी में नहीं होगा $\mathbb{Q}(w)$

1 EthanBolker Dec 25 2020 at 04:44

संपादित करें । यह उत्तर गलत है। मैंने "वैतरणी आधार" को "वेक्टर अंतरिक्ष आधार" के रूप में पढ़ा। मुझे लगता है कि @AndreasCaranti का जवाब सही है। मैं मेरा साथ छोड़ दूंगा इसलिए कोई और गलती नहीं करेगा।


हाँ, हर तत्व के बाद से $\mathbb{R}$ एक परिमित है $\mathbb{Q}$आधार तत्वों का मिश्रण संयोजन। इसका मतलब है कि यह इसी विस्तार के संघ में है।