कई कंडीशनिंग के साथ सशर्त अपेक्षा

Aug 17 2020

किसी भी आर.वी. $X$ तथा $Y$:

$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$

लेकिन मैं यह साबित नहीं कर पा रहा हूं। मैंने अतिरिक्त कंडीशनिंग के साथ एडम के नियम का उपयोग करने की कोशिश की ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) लेकिन मैं इसके साथ कहीं भी नहीं मिलता है।

मैंने जो कोशिश की वह निम्नलिखित है:

$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ घटना के बाद से $X$ हुआ और $g(X)$ हुआ दोनों के बराबर, कंडीशनिंग $X$ तथा $g(X)$उनमें से केवल एक पर कंडीशनिंग के समान है। क्या इसकी कोई सहज व्याख्या है?

क्या इसका मतलब यह भी है कि कंडीशनिंग पर $X$ या किसी भी समारोह $g$ का $X$ एक ही है ?

जवाब

1 JohnDawkins Aug 16 2020 at 23:58

यह सशर्त अपेक्षाओं के टॉवर संपत्ति का एक विशेष मामला है, जो यह दावा करता है कि यदि $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ तब फिर $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ इनमें से दूसरी समानता का उपयोग करें $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ तथा $\mathcal F_2=\sigma(X)$।

1 Michael Aug 16 2020 at 23:03

आपके पास पहले से मौजूद तर्क एक बहुत अच्छा गैर-माप सिद्धांत तर्क है। मैं बस इसे औपचारिक रूप से बताऊंगा, यह कुछ विवरणों के बारे में विश्वास दिलाने में मदद कर सकता है।

अपनी तर्क संरचना का उपयोग करना: आज्ञा देना $g(X)=E[Y|X]$। फिर\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}जहां (ए) पुनरावृत्त अपेक्षाओं के कानून का उपयोग करता है; (b) उपयोग करता है$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) उपयोग करता है$E[Z|Z]=Z$ किसी भी यादृच्छिक चर के लिए $Z$। $\Box$

कदम (ख) की अधिक बारीकी से जांच की गई है: $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ और इसका मतलब यह है कि अगर हम पहले से ही जानते हैं $X$, फिर अतिरिक्त जानकारी $g(X)$ नया कुछ नहीं जोड़ता।