का उलटा लाप्लास रूपांतरण खोजना $\frac{s}{(s+1)^3}$ उलटा सूत्र का उपयोग करना
मुझे इसका उलटा लाप्लास रूपांतर खोजने की आवश्यकता है $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$ब्रोमविच इंटीग्रल का उपयोग करना। ब्रोमविच समोच्च कुछ इस तरह दिखेगा ।
वास्तव में आप इस समस्या को निम्न लिंक पर देख सकते हैं: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w। मैं जानना चाहूंगा कि हमें अभिन्न को क्यों दिखाना चाहिए$L_u$, $C_R$, $L_D$ है $0$? मेरा मतलब है, मैंने कुछ किताबों पर कई उदाहरण देखे हैं (भौतिक विज्ञानियों के लिए गणितीय तरीके, तीसरा संस्करण।) यह केवल लैप्लस परिवर्तन के उलटा हल करने के लिए सरल ध्रुवों पर अवशेषों को दिखाने की आवश्यकता है।
तो, इस मामले में यह होना चाहिए:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
क्या आप बता सकते हैं कि हमें क्यों अभिन्न दिखाना चाहिए $L_u$, $C_R$, $L_D$ है $0$ (दिए गए लिंक के आधार पर) यदि अवशिष्ट सिद्धांत का उलटा रूपांतर खोजने के लिए अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त है $F(s)$?
आशा है आप मुझे समझा सकते हैं। मैं इस बारे में और सीखना चाहता हूं लेकिन फिर भी जब यह सवाल आता है तो भ्रमित हो जाते हैं। बहुत धन्यवाद!
जवाब
द रेस्यू थ्योरम कॉची के इंटीग्रल प्रमेय का विस्तार है । दोनों प्रमेयों की शुरुआत एक साधारण जुड़े हुए डोमेन के भीतर रेक्टिफायेबल क्लोज्ड कर्व्स से होती है$\mathbb{C}$।
उलटा लाप्लास ट्रांसफॉर्म ऑफ $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$द्वारा व्यक्त किया जाता है
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
कहाँ पे $c$ एक वास्तविक संख्या है जो सभी की विलक्षणताओं से अधिक है $F(s)$।
अवशेष प्रमेय को लागू करने के लिए, हम अभिन्न का मूल्यांकन करते हैं $F(s)e^{st}$एक बंद और सुधार योग्य वक्र पर। इसलिए, हम अपना विश्लेषण शुरू करते हैं और लिखते हैं
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
ओपी के विशिष्ट प्रश्न को देखते हुए, हम मानते हैं कि केवल एकवचन की $F(s)$ध्रुवीय विलक्षणताएँ हैं। अगर$F(s)$ शाखा बिंदु विलक्षणताएं हैं, तो हम ब्रोमविच पथ को बंद कर देंगे, ताकि शाखा बिंदु और इसी शाखा कटौती को बंद समोच्च के भीतर से बाहर रखा जाए।
मान लीजिए सभी $N$ के ध्रुवों की संख्या $F(s)$ बंद समोच्च के अंदर हैं $C$ और के स्थान को निरूपित करते हैं $n$। ध पोल $s_n$, कहाँ पे $n=1,2\cdots N$। फिर, हमारे पास अवशेष प्रमेय है,
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
इसके अलावा, के रूप में $R\to \infty$के दायीं ओर पहला अभिन्न अंग है $(2)$ दृष्टिकोण $2\pi i f(t)$ में व्यक्त किया गया $(1)$। तो, अगर अभिन्न खत्म हो गया$L_u+C_R+L_d$ के रूप में गायब हो जाता है $R\to \infty$, फिर बराबरी से $(2)$ तथा $(3)$, हम पाते हैं कि
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
नोट: में अभिव्यक्ति$(4)$ इस धारणा पर आधारित था
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
अगर $(5)$ धारण करने में विफल रहता है, फिर $(4)$ इसी तरह विफल रहता है।