कैसे दिखाऊं वो $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ ऊपरी बंधे हुए हैं?
मैं यह साबित करने की कोशिश कर रहा हूं कि पुनरावर्ती संबंध द्वारा दिया गया क्रम $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ अभिसारी है, $a_1 = 1$।
मैंने इंडक्शन का उपयोग करके यह साबित करने में कामयाबी हासिल की कि यह क्रम काफी बढ़ रहा है ।
मैं प्रमेय का उपयोग कर रहा हूं जो बताता है कि
यदि कोई अनुक्रम नीरस है और बाध्य है तो यह अभिसरण है।
इसलिए, मुझे अब साबित करना होगा कि एक ऊपरी सीमा मौजूद है
मेरा प्रयास
मैं फिर से प्रेरण का उपयोग करूंगा।
- के लिये $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
- के लिये $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
- के लिये $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $
मैंने वह कर दिखाया है $a_{k+1}$ वह कम है $M^2$ इंडक्शन स्टेप में जबकि मैंने कहा था कि $a_{k+1}$ से कम है $M$। वर्ग थोरा मुझे भ्रमित करता है, और मुझे यकीन नहीं है कि अगर मैं वास्तव में यहां पर सीमा साबित हुई हूं, तो मैं इस सवाल को पूछता हूं
जवाब
ध्यान दें कि $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$। तब आप कर सकते थे$M=\frac{M^2}{4}-3$ जो वास्तव में देता है $M=6$ एक समाधान के रूप में।
इस तरह की समस्याओं से निपटने का तरीका आमतौर पर इस प्रकार है।
कल्पना कीजिए कि आप पहले ही साबित कर चुके हैं कि यह क्रम परिवर्तित हो चुका है ... इसलिए $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$। क्या आप यह जानने के लिए इच्छुक नहीं होंगे कि क्या है$a$? इसे करने का तरीका है: समीकरण में$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ जब आप बाएँ और दाएँ हाथ की सीमा की गणना करते हैं $n\to\infty$। आपको मिला:
$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$
इसलिए $a=\sqrt{12+4a}$ जो ये दर्शाता हे $a=6$।
तो जो आपने सिद्ध किया है, वह है, यदि $a_n$ धर्मान्तरित, यह करने के लिए अभिसरण है $6$और कोई अन्य संख्या नहीं। इसके अलावा, आप जानते हैं कि यह अभिसरण करता है (जैसा कि आपको यह साबित करने के लिए नहीं कहा जाएगा कि क्या ऐसा नहीं हुआ है!) इसलिए यह जानकर कि यह नीरस रूप से बढ़ रहा है, आप तुरंत देखते हैं कि$a_n\lt 6$, निकट $6$ "नीचे से", और वास्तव में $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$।
इस प्रकार, शायद यह भुगतान करता है अब इस बिंदु तक हमने जो कुछ भी कहा, उसे भूलने की कोशिश करें, और यह साबित करें$a_n\lt 6$, जिसका तात्पर्य यह होगा कि आपका अनुक्रम नीरस रूप से बढ़ता और घिरा हुआ है - इसलिए अभिसारी है।
और, वास्तव में (प्रेरण द्वारा प्रमाण), $a_1=5\lt 6$ और अगर $a_n\lt 6$, फिर $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$।
संकेत: प्रेरण द्वारा साबित $a_n \leq 6$ सबके लिए $n$।