कैसे साबित करने के लिए कि खंड $IF=HF+GF$

Aug 16 2020

$AE$ तथा $CD$ के कोण द्विभाजक हैं $\triangle ABC$$F$ लाइन पर एक मनमाना बिंदु है $DE$। साबित करो$GF+HF=IF$

मैंने ध्यान दिया $3$चक्रीय चतुर्भुज। कोई राय। ये रही तस्वीर

जवाब

6 JeanMarie Aug 16 2020 at 15:00

ट्रिलिनियर निर्देशांक पर विचार करें (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) पहले जहां मामले में $F$ त्रिकोण के अंदर है $ABC$

$D$ तथा $E$, कोण बायसेक्टर्स के पैर होने के नाते, सम्मान है। ट्रिलिनियर समन्वय।$(1,1,0)$ तथा $(0,1,1)$। इसलिए, सीधी रेखा का त्रैमासिक समीकरण$DE$ है:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

व्याख्या करना $(x=FG,y=FH,z=FI)$, हमें मिला:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( जो दिया गया संबंध नहीं है! )

अब अगर $F$ त्रिकोण के अंदर नहीं है $ABC$, यहाँ अन्य मामले हैं:

  • दिए गए आंकड़े में दर्शाए गए मामले में ($F$ "ठीक बाहर" $[DE]$ के पक्ष में $E$), ट्रिलिनियर निर्देशांक में से केवल एक, $FG$, एक संकेत परिवर्तन से गुजरता है; इसलिए (1) बन जाता है:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

जो इस बार दिए गए रिश्ते पर निर्भर करता है!

यदि, दिए गए आंकड़े के मामले में, $F$ दूर है, हस्ताक्षरित दूरी के लिए एक दूसरा संकेत परिवर्तन होता है $FH$, में परिणत (2):

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

जो एक तीसरा सूत्र है।

  • यदि, इसके विपरीत, $F$ लाइन सेगमेंट के बाहर है $[D,E]$ लेकिन की तरफ $D$, हमें बदलना होगा $FI$ (1) में इसके विपरीत, वापस संबंध (3) दे रहा है।

संबंध के बारे में टिप्पणी (0): हमने इसे कई गुणा तक काम करके प्राप्त किया है; यह महत्वहीन है क्योंकि हम रिश्तों के साथ उनके दाहिने हिस्से में एक शून्य है।