कमज़ोर $L^p$ साइन फंक्शन के टुकड़े-टुकड़े रैखिक सन्निकटन में सीमा तक जाने के लिए अभिसरण?

Question

विचार करें $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ जो की एक स्मूथेड वर्जन है $\mathrm{sign}$ समारोह।

मान लो कि $u_n \to u$ में कमजोर $L^p([0,1])$ सबके लिए $p \in [1,\infty]$ जैसा $n \to \infty$। क्या यह सही है$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ कुछ में कमजोर $L^p$?

Answer 1

मान लीजिए $\epsilon \le 1$। पर$[0,1]$, जाने दो $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in [बायां [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ फिर $u_n \rightharpoonup 2$ में $L^p([0,1])$ के लिये $1 \le p < \infty$, परंतु $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$।

के बारे में निश्चित नहीं है $p = \infty$, लेकिन मुझे संदेह है कि यह प्रतिपक्ष काम करता है।