कार्यात्मक रूप से, एक सममित मैट्रिक्स जो रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, उसके बारे में क्या कहता है?
मैं एक सममित मैट्रिक्स की परिभाषा को समझता हूं कि यह कैसे संबंधित है। लेकिन कार्यात्मक रूप से, यह रैखिक परिवर्तन के बारे में क्या बताता है जो इसका प्रतिनिधित्व करता है? उदाहरण के लिए, ब्लॉक त्रिकोणीय विकारों में प्रविष्टियों के बीच विशेष संबंध हैं, लेकिन वे भी कार्यात्मक रूप से हमें बताते हैं कि कुछ गैर-तुच्छ वेक्टर उप-क्षेत्र रैखिक परिवर्तन के तहत एक विशेष आधार के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं। संयोग से, तिरछा-सममित मैट्रिक्स क्या कार्यात्मक रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं?
जवाब
प्रश्न पर टिप्पणियों में (और जुड़े हुए चर्चा में), मैं निम्नलिखित दावा करता हूं:
$M$ (संभवतः तिरछे) आधार के कम से कम एक विकल्प के सापेक्ष सममितीय है, यदि और केवल यदि $M$ वास्तविक स्वदेशी के साथ विकर्ण है। $M$ अगर और केवल अगर आधार के कम से कम एक विकल्प के सापेक्ष तिरछा-सममित है $M$ स्केल्ड का एक सीधा योग है $90^\circ $ रोटेशन और शून्य परिवर्तन।
सबसे पहले, सममित मामला। अगर$M$ सममित है, तो वर्णक्रमीय प्रमेय बताता है कि $M$वास्तविक स्वदेशी के साथ विकर्ण है। इसके विपरीत, यदि$M$ वास्तविक स्वदेशी के साथ विकर्ण है, फिर एक आधार है जिसके मैट्रिक्स के सापेक्ष $M$असली विकर्ण प्रविष्टियों के साथ विकर्ण है। चूंकि यह विकर्ण मैट्रिक्स सममित है,$M$ आधार के इस विकल्प के सापेक्ष सममित है।
मामले के लिए जहां $M$तिरछा-सममित है, दो सामान्य दृष्टिकोण हैं। आसान दिशा के लिए: यदि$M$ का सीधा योग है $90^\circ$ घूर्णन और शून्य परिवर्तन, फिर एक आधार होता है जिसके मैट्रिक्स होते हैं $M$ ब्लॉक-विकर्ण तिरछा-सममित मैट्रिक्स है $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$आक्षेप के लिए दो दृष्टिकोण हैं। एक अनिवार्य रूप से हर्मिटियन मैट्रिस के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय लागू करने के लिए है , यह देखते हुए कि यदि$M$ तिरछा-सममित है तो जटिल मैट्रिक्स $iM$हरमिटियन है। वैकल्पिक रूप से, हम व्यवस्थित रूप से एक आधार का निर्माण कर सकते हैं जिसके लिए मैट्रिक्स है$M$उपरोक्त ब्लॉक-विकर्ण रूप है जैसा कि इस पोस्ट में उल्लिखित है और इसके साथ प्रमाण जुड़ा हुआ है।