कार्यात्मक समीकरण: $f(f(x))=6x-f(x)$ [डुप्लिकेट]

Question

सिद्ध है कि एक अद्वितीय कार्य मौजूद है $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ $$f(f(x))=6x-f(x)$$

मेरी कोशिश

परिभाषित $a_{k+1}=f(a_k)$ फिर हमारा पुनरावर्ती संबंध है $$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$$ जिसका चारित्रिक समीकरण है $$x^{k+2}+x^{k+1}-6x^k=0$$ $$x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3 ,x=2$$ अर्थात $$a_k=c_1 {(-3)}^k+c_2{(2)}^k$$ ।जैसा $x>0 \Rightarrow a_0>0\Rightarrow 2c_2>3c_1$

मैं अब फंस गया हूं क्योंकि मैं नहीं मिल पा रहा हूं $c_1,c_2$

Answer 1

ओपी के काम के बाद: के लिए$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$, लेना $a_k=t^k$ लेना $t_{1,2}=2,-3$। लिखने के लिए केवल सकारात्मक जड़ चुनें$a_k=C 2^k \implies a_0=C=x$ (अनुमान से), अगला $a_1=C. 2=2x$। धारणा से$f(x)=a_1.$ तो आप प्राप्त करें $f(x)=2x.$

नोट: यहाँ $$a_0=x, a_1=f(x),a_2=ff(x), a_3=fff(x),....,a_k=f^{k}(x).$$