कठोर शरीर में सभी गति एक बार में क्यों समाप्त हो जाती है?
मैं एक पुस्तक के माध्यम से पढ़ रहा था जिसने समस्या प्रस्तुत की:
एक असंतुष्ट हॉकी खिलाड़ी बर्फ के साथ एक हॉकी स्टिक फेंकता है। यह अपने द्रव्यमान के केंद्र के बारे में घूमता है क्योंकि यह साथ स्लाइड करता है और अंततः घर्षण की क्रिया द्वारा आराम करने के लिए लाया जाता है। इसके घूमने की गति उसी क्षण रुक जाती है जब इसका द्रव्यमान केंद्र में आता है, पहले नहीं और बाद में नहीं। समझाइए क्यों।
मैंने इसी तरह का प्रश्न देखा था: बर्फ पर हॉकी क्यों चिपकती है, जब बर्फ पर फेंका जाता है तो हमेशा घूमता है और आराम करने से पहले एक साथ अनुवाद करता है? केवल घुमाएँ या केवल अनुवाद ही क्यों? लेकिन मुझे ऐसा नहीं लगा कि मैं उत्तर से संतुष्ट था।
प्रश्न ऊर्जा अध्याय में था इसलिए मैंने इसे ऊर्जा के साथ हल करने का प्रयास किया। मैंने सोचा था कि अगर COM पर घर्षण का बल F था और यह रुकने से पहले दूर की यात्रा करता है, तो हम समीकरण लिख सकते हैं$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$जहां एलएचएस प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। हम घूर्णी ऊर्जा के लिए एक समान समीकरण भी लिख सकते हैं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि उसके बाद क्या करना है। क्या इसे कठोरता से या सिर्फ तर्क से साबित करने का प्रयास करना उचित है?
एक और सवाल जो इस सवाल के बारे में सोचने से आया है कि आप घर्षण द्वारा लाए गए टोक़ को कैसे मापेंगे क्योंकि यह छड़ी पर वितरित किया गया है, न कि केवल एक बिंदु पर?
जवाब
यदि छड़ी एक बार है, तो इसकी लंबाई के साथ जमीन के साथ सादे संपर्क होने पर, रोटेशन का विरोध करने वाला घर्षण बल इसे COM में तय किए गए समान रूप से वितरित भार के साथ 2 ब्रैकट बीम के रूप में मॉडल करने का सुझाव देता है । घर्षण भार इसकी लंबाई के साथ वितरित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम। टोक़ COM के करीब और सिरों पर शून्य।
इसलिए छोर के करीब एक छोटे से क्षेत्र के लिए, कुल टॉर्क का परिणाम केवल इस क्षेत्र पर लोड से होता है: $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ और तत्व में घर्षण बल है $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
जड़ता का क्षण $\delta I = \delta m r^2$ तथा $$\omega = \frac{v}{r}$$
इसलिए, $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
यदि हम एक ही क्षेत्र में औसत अनुवाद वेग को कम करने के लिए बल का मूल्यांकन करते हैं: $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
एक ही त्वरण के तहत, उन्हें एक साथ घटाना होगा। यदि यह बार के सिरों के लिए होता है, तो सभी शरीर इस मॉडल के लिए एक ही समय में घूमना और रैखिक रूप से बढ़ना बंद कर देंगे।
लेकिन अगर उदाहरण के लिए, केंद्रीय भाग में संपर्क होता है, लेकिन अंत नहीं होता है, तो यह पूरी तरह से संभव है कि बार अपने घूर्णन गति को रोकने के बाद, घूमता रहता है।
मुझे नहीं लगता कि बयान सही है। सामान्य तौर पर, एक स्लाइडिंग ऑब्जेक्ट दूसरी गति के रुकने से पहले कताई या अनुवाद को रोक सकता है। केवल एक ही हो सकता है।
उदाहरण के लिए, एक समान डिस्क लें। इसे स्पिन करें और इसे बर्फ पर आराम दें। यह थोड़ी देर के लिए जगह में घूमेगा, और एक स्टॉप पर आ जाएगा। इसी तरह, इसे बिना कताई के स्लाइड करें। यह एक स्टॉप तक जाएगा।
आपके द्वारा पोस्ट से जुड़े शो के रूप में, एक हॉकी स्टिक विशेष है। इसमें विभिन्न छोरों पर घर्षण के अलग-अलग गुणांक हैं। यदि आप इसे शुरू कर सकते हैं तो यह स्पिन कर सकता है। लेकिन यह करने के लिए नहीं है। इसे उच्च घर्षण छोर से पीछे की ओर स्लाइड करें, धनुष और तीर की तरह तरह। यह कताई के बिना एक पड़ाव पर स्लाइड करेगा।
यदि आप इसे थोड़ा स्पिन और बहुत अधिक वेग देते हैं, तो इसे रोकने से पहले घर्षण इसे उन्मुख कर सकता है।
अन्य उत्तरों (दोनों से +1) को पढ़ने के बाद, मैं निष्कर्ष निकालता हूं कि मेरा अंतर्ज्ञान गलत था। रोटेशन और अनुवाद एक ही समय में बंद हो जाते हैं।
यहां एक पेपर है जो पतली डिस्क के साथ फिसलने और कताई गति के युग्मन का विश्लेषण करता है, और एक ही समय में दोनों गति क्यों बंद हो जाती है। कागज एक गणितीय मॉडल स्थापित करता है और एक नायलॉन सतह पर सीडी के साथ प्रयोगों के परिणामों की रिपोर्ट करता है जो सिद्धांत का परीक्षण करते हैं।
टिप्पणियों के जवाब में संपादित करें: गणितीय मॉडल एक समान डिस्क वितरण के साथ एक फ्लैट डिस्क मानता है और स्पष्ट रूप से इसकी परिमित ऊंचाई (एक गैर-समान सामान्य बल जो घुमावदार प्रक्षेपवक्र की ओर जाता है) से प्रभावों को अनदेखा करता है। प्रयोग एक सन्निकटन के रूप में एक सीडी का उपयोग करते हैं। एक शीर्ष अलग तरीके से व्यवहार कर सकता है, हालांकि मैं यह देख सकता हूं कि बलों के परिणामस्वरूप सतह के साथ एक शीर्ष "भटक" की नोक (जैसे कि पूर्वसरण, हवा का एक कश या सतह में एक असमानता) जो आगे बढ़ने के लिए पर्याप्त होगी। यह अगर यह घूर्णन नहीं कर रहे थे।
कताई और फिसलने के बीच इस बातचीत का अंतर्निहित कारण यह है कि गतिशील घर्षण आंदोलन की गति से स्वतंत्र है ; यह केवल सामान्य बल (यहाँ गुरुत्वाकर्षण बल) और भौतिक स्थिरांक पर निर्भर करता है। हर सतह बिंदु पर इसकी दिशा उस बिंदु के वेग की दिशा का विरोध करती है । एक तेज़-घूर्णन के साथ, स्लाइडिंग ऑब्जेक्ट सभी वेग वैक्टर लगभग पूरी तरह से स्पर्शरेखा हैं क्योंकि घूर्णी भाग वैक्टर पर हावी हो रहा है। वैक्टर का परिमाण बहुत अधिक है, लेकिन अप्रासंगिक: घर्षण बल इस पर निर्भर नहीं करता है। नतीजतन, घर्षण बल लगभग पूरी तरह से स्पर्शरेखा हैं; वे ज्यादातर एक दूसरे को आगे की गति के संबंध में रद्द करते हैं और केवल रोटेशन को धीमा करते हैं। 1 है
वास्तव में, घर्षण टोक़ (जो रोटेशन को धीमा करता है) रैखिक घर्षण बल (जो आगे की गति को रोकता है) से अधिक है यदि रोटेशन आगे की गति की तुलना में तेज है - और इसके विपरीत। यही कारण है कि "तेज" दो आंदोलनों में से एक को अधिक ब्रेक दिया जाता है, जब तक कि वे संरेखित नहीं करते हैं और एक साथ एक स्टॉप पर आते हैं। नीचे दिया गया आंकड़ा (कागज का पृष्ठ 2) उस अन्योन्याश्रयता को दर्शाता है।$\epsilon$ अग्रगामी गति और कोणीय गति का भागफल है, $v/R\omega$। थोड़ा रैखिक गति लेकिन तेजी से रोटेशन के लिए घर्षण टोक़ (आंकड़ा (ए) के बाईं ओर) हावी है, और तेजी से रैखिक गति के लिए थोड़ा रोटेशन के साथ रैखिक घर्षण हावी है (आंकड़ा के दाईं ओर):
1 यह कुछ हद तक असामान्य है: हम अक्सर अपने घटकों में वेग या बलों को "विच्छेदित" करते हैं और उन्हें व्यक्तिगत रूप से, स्वतंत्र रूप से मानते हैं। इस मामले में हालांकि पार्श्व घटक अनुदैर्ध्य घर्षण को प्रभावित करता है क्योंकि यह वेक्टर की दिशा बदलता है , और इसके विपरीत: क्योंकि किसी दिए गए दिशा में घर्षण उस दिशा में वेक्टर घटक की भयावहता पर निर्भर नहीं करता है। उस घटक का परिमाण स्थिर है, घर्षण नहीं है। बहुत जवाबी सहज।