के आयाम कैसे थे $\cos$तथा $\sin$चुना?

Aug 17 2020

मुझे समझ में नहीं आता कि हम इसका उपयोग क्यों करते हैं$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$नीचे परिवर्तन में। क्या कोई समझाने में मदद कर सकता है?

से

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

में बदलना

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

होने देना$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$तथा$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

जवाब

2 egreg Aug 17 2020 at 15:47

आइए महत्वपूर्ण भाग पर ध्यान केंद्रित करें, जो कि रूप का है$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$जिसे हम व्यक्त करना चाहते हैं$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$एक आवश्यक (और पर्याप्त) शर्त यह है कि$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$और इसलिए$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. अत$$ A^2=a^2+b^2 $$हम चाहते हैं$A>0$(आवश्यक नहीं, लेकिन सुविधाजनक), तो हमें मिलता है$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$अंतिम दो आवश्यकताओं को पूरा किया जा सकता है, क्योंकि$(a/A,b/A)$इकाई वृत्त पर एक बिंदु है।

1 user Aug 17 2020 at 15:21

यह वेक्टर को सामान्य करने का एक तरीका है$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$अर्थात्

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

लंबाई के बराबर है$1$और यह के लिए बाद में परिवर्तन करने की अनुमति देता है$\cos \phi$तथा$\sin \phi$.