के बाएं कोष्ठक $H$ में है $G$ विभाजन $G$

Question

चलो $G$ एक समूह बनो और $H$एक उपसमूह। फिर के बाएं कोष्ठक$H$ में है $G$ विभाजन $G$। विशेष रूप से,$(1)$ से प्रत्येक $a$ ∈ G वास्तव में एक बाएं कोसेट में है, जिसका नाम है $aH$, तथा $(2)$ अगर $a, b \in G$, तो कोई $aH = bH$ या $aH \cap bH = \emptyset $।

भाग $(2)$पूरा हो गया है। मेरी समस्या भाग में है$(1)$, मैंने यह कोशिश की, लेकिन वास्तव में निश्चित नहीं:

चलो $a\in G$, हमारे पास वह है $e\in H$, तोह फिर $a\in aH$, जबसे $a=ae$। यह दर्शाता है कि$a$ कुछ बाएं कोसेट में निहित है, अर्थात् $aH$।

अब अगर $a\in aH$ तथा $a\in bH$, हमारे पास वह है $a=ae=abh$, तोह फिर $bh=e$ और इस तरह $a$ ठीक एक बाएं कोष्ठ में स्थित है।

क्या मैं सही हू?

Answer 1

यह मानते हुए कि आपने साबित किया (2) मैं आगे बढ़ता हूं:

$\mathbf{Theorem 1:}$ के लिये $a,b \in G$ साबित करो $aH=bH$ अगर $a^{-1}b \in H$।

$\mathbf{Theorem 2:}$ के लिये $a,b \in G$ साबित करो $b \in aH$ अगर $a^{-1}b \in H$

फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ जबसे $e \in H, a=ae \in aH$। चलो$a \in bH$। फिर$aH=bH$। इस प्रकार$a$ बिल्कुल एक बाएं कोसेट के अंतर्गत आता है।