के बीच रैखिक एंडोमोर्फिज्म $V$ और के दोहरे $V$

Question

चलो $V$ क्षेत्र पर एक परिमित आयाम वेक्टर अंतरिक्ष हो $K$। $V^*=\{l:V\to K\}$।

साबित कर दिया $\operatorname{End}(V)$ रेखीय समद्विबाहु को $\operatorname{End}(V^*)$।

मेरा प्रयास: चूंकि परिमित आयाम वेक्टर अंतरिक्ष के लिए $\dim V^*=\dim V$

इसलिए वे रैखिक रूप से आइसोमॉर्फिक हैं $\psi:V\to V^*$।

इसलिए तत्व दिया $T\in \operatorname{End}(V)$ हम ढूंढ सकते हैं $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ यह जाँचना आसान है कि यह एक रैखिक एंडोमोर्फिज़्म है।

और नक्शे किसी भी के लिए पर है $\hat{T}$ हम निर्माण कर सकते हैं $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$। यह कब से इंजेक्शन है$\hat{T} = 0$ का तात्पर्य $T = 0$ शून्य नक्शा है, इसलिए इसमें तुच्छ कर्नेल है।

अंत में हमें दिखाने की जरूरत है $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$रैखिक भी है। अर्थात$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ की परिभाषा के द्वारा $\hat{T}$ उसके पास होता है।

क्या मेरा प्रमाण सही है?

Answer 1

आपका प्रमाण सही है। हालांकि, बीच में एक और वेक्टर अंतरिक्ष समरूपता है$\operatorname{End}(V)$ तथा $\operatorname{End}(V^*)$ इसके लिए एक समरूपता की आवश्यकता नहीं है $V \rightarrow V^*$। अर्थात्, नक्शा$A \in \operatorname{End}(V)$ सेवा मेरे $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ परिभाषित करके $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$। यहाँ,$ x\in V$ तथा $\phi \in V^*$।

Answer 2

आप मैप करना चाहते हैं $T\colon V\to V$ एक रेखीय मानचित्र के लिए $V^*\to V^*$ और यह करने के लिए एक स्पष्ट तरीका है, अर्थात् नक्शा करने के लिए $T$ इसके संक्रमण के लिए $T^*$। हालांकि, यह एक असामाजिकवाद को परिभाषित करता है , क्योंकि$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$।

आप उस का उपयोग करके एक समरूपता प्राप्त करते हैं, जब $\dim V=n$, आपको मिला $V\cong M_n(K)$ (की अंगूठी $n\times n$आधार की पसंद के माध्यम से) आइसोमोर्फिज्म की संवेदनशीलता खत्म हो जाती है।