के प्रक्षेपण के बीच संबंध $y$ पर $x_1, x_2$ व्यक्तिगत रूप से बनाम दोनों पर प्रक्षेपण?
यह अनिवार्य रूप से उस प्रश्न के समान है जिसे मैंने अभी क्रॉस क्रॉस से पूछा था , लेकिन यहां मैं इसे रैखिक बीजगणित तरीके से प्रस्तुत करने जा रहा हूं।
विचार करें $y \in \mathbb{R}^n$ तथा $x_1, x_2, 1_n \in \mathbb{R}^{n}$। मान लीजिए कि आप orthogonally प्रोजेक्ट करते हैं$y$ पर $x_1, 1_n$ और के प्रक्षेपण का पता लगाएं $y$ द्वारा दिए गए उप-स्थान पर $x_1, 1_n$ के रूप में लिखा जा सकता है $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1 + b_1$, यानी, का एक रैखिक संयोजन $x_1$प्लस कुछ ऑफसेट। अब ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के लिए भी ऐसा ही करें$y$ पर $x_2, 1_n$ और ढूंढें $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2 + b_2$।
अब प्रोजेक्टिंग पर विचार करें $y$ दोनों द्वारा उप-उप-स्थान पर $x_1, x_2, 1_n$ और ढूंढें $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2 + b_{12}$।
अगर $x_1 \perp x_2$, तो मुझे पता है $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$। लेकिन क्या होगा अगर वे ऑर्थोगोनल नहीं हैं?
मैं किस रिश्ते के बारे में कह सकता हूं $\hat{\beta}$ तथा $\hat{\gamma}$ इस मामले में?
कुछ विशिष्ट प्रश्न जिनकी मुझे भी दिलचस्पी है, यदि $\hat{\beta} >0 $, इसका मतलब है $\hat{\gamma} > 0$? अगर$x_1, x_2$ रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो मुझे नहीं लगता कि यह किसी गुणांक के लिए सही नहीं होगा।
जवाब
मैं यह नहीं कह सकता कि मैं पूरी तरह से उन स्थिरांक को समझ गया हूं $b_1$, $b_2$ या $b_{12}$इसलिए है। लेकिन मुझे आपके सवाल का मर्म समझ में आया और मैं पूरी कोशिश करूंगा।
का ओथोगोनल प्रक्षेपण कहें $y$ द्वारा दिए गए उप-स्थान पर $x_1$ के रूप में लिखा जा सकता है $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1$, यानी, का एक रैखिक संयोजन $x_1$। अब हम ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के लिए भी ऐसा ही करते हैं$y$ पर $x_2$ और ढूंढें $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2$।
इसके अलावा हमारे पास इसका प्रक्षेपण है $y$ दोनों द्वारा उप-उप-स्थान पर $x_1, x_2$ और ढूंढें $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2$।
व्यापकता के नुकसान के बिना हम वैक्टर कह सकते हैं $x_1$ तथा $x_2$ इकाई वैक्टर हैं और उनके द्वारा प्रतिनिधित्व करते हैं $\hat{x_1}$ तथा $\hat{x_2}$। यदि आप ऐसा नहीं करना चाहते हैं, तो संदर्भ में सभी वैक्टर को फिर से लिखें$\hat{x_1}$ तथा $\hat{x_2}$। उदाहरण के लिए,$\hat{\beta_1}$ हो जाएगा $\hat{\beta_1} ||x_1||$
अब, इस कथन पर विचार करें। के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण$\hat{y_{12}}$ पर $x_1$ जैसा होगा वैसा ही होगा $\hat{y_1}$ और ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण $\hat{y_{12}}$ पर $x_2$ जैसा होगा वैसा ही होगा $\hat{y_2}$।
तो, प्रक्षेपण की परिभाषा से,
$$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_1}|| $$
$$ \implies (\hat{\gamma}_1 \hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}).\hat{x_1} = ||\hat{y_1}||$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1 \tag{1}$$
इसी तरह हम हल कर सकते हैं $ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_2}|| $ पाने के लिए
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_2} + \hat{\gamma}_2 = \hat{\beta}_2 \tag{2}$$
तुम वहाँ जाओ। हमारे 2 समीकरण और 2 अज्ञात हैं।
जाहिर है हमें इसका मूल्य पता होना चाहिए $\hat{x_1}.\hat{x_2}$, दूसरे शब्दों में आवश्यक संबंधों को प्राप्त करने के लिए, उनके बीच के कोण के कोसाइन। मामले में जहां$\hat{x_1}$ तथा $\hat{x_2}$ ऑर्थोगोनल हैं, $cos \frac{\pi}{2}=0$ और इसलिए आपने जो परिणाम दिया है $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$।