के विशेष मूल्यों के बारे में एक डेटाबेस है $j$-वरवंत?
क्या कोई ऐसा डेटाबेस है जिसमें सभी ज्ञात विशिष्ट मान हैं $j$-वरवंत?
जवाब
"ज्ञात" से आपका क्या तात्पर्य है? किसी के लिए$\tau\in\mathbb C$ साथ से $\text{Im}(\tau)>0$, एक गणना कर सकते हैं $j(\tau)$के रूप में ज्यादा सटीक के रूप में एक के कंप्यूटर की अनुमति देता है, लेकिन संभवतः कि आप क्या मतलब नहीं है। सामान्य तौर पर, यदि$\tau$ बीजगणितीय है और $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, तब फिर $j(\tau)$ पारलौकिक है $\mathbb Q$, इसलिए आपको यह समझाने की आवश्यकता है कि मूल्य को "जानना" क्या होगा। कब$\tau$ द्विघात है $\mathbb Q$संबंधित अण्डाकार वक्र में CM और है $j(\tau)$ के हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र उत्पन्न करता है $\mathbb Q(\tau)$। उस स्थिति में, कोई भी प्रिंसिपल क्षेत्र का निर्धारण कर सकता है और फिर लिख सकता है$j(\tau)$उस क्षेत्र के लिए आधार के संदर्भ में। क्या यह वही चीज है? यदि हां, तो मुझे यकीन है कि कई उदाहरणों पर वर्षों से काम किया जा रहा है, लेकिन मुझे ऐसी जगह के बारे में जानकारी नहीं है, जहां वे संकलित किए गए हैं। हालांकि संभवतः वे छोटे वर्ग संख्या के सभी काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लिए किए गए हैं। के लिए एक नमूना गणना है$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$मेरे उन्नत विषयों में अरिथमेटिक ऑफ एलिप्टिक कर्व्स पुस्तक (उदाहरण II.6.2.2), जहां यह दिखाया गया है$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (फील्ड $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ वर्ग संख्या 2 है, और इसका हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र है $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$।)
किसी भी (परिमित) डेटाबेस में CM के साथ अण्डाकार वक्रों के j-invariants के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ हैं, जिन्हें आइसोजेनस elliptic घटता के j-invariants जोड़कर बढ़ाया जा सकता है। एक अण्डाकार वक्र दिया$E$ इसके वीयरस्टैस रूप में और एक सूक्ष्म उपसमूह $F$इसके लिए, वेलु का एक क्लासिक पेपर इसके लिए स्पष्ट समीकरण प्रदान करता है$E':=E/F$ और आइसोजिनी $E\rightarrow E'$। अब मान लीजिए हम काम कर रहे हैं$\Bbb{C}$ और हम जानते हैं कि $E$ isomorphic है $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$, इसलिए विशेष मूल्य का ज्ञान $j(\tau)$। $j$-इनवरिएंट ऑफ $E'$, जो अपने समीकरण का उपयोग करके स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, फिर एक और विशेष मूल्य देता है $j(\tau')$ मॉड्यूलर की $j$जहाँ-तहाँ $\tau'$ की अवधि है $E'$। वैकल्पिक रूप से, कोई लक्ष्य वक्र से शुरू हो सकता है और प्राप्त करने के लिए ऊपर जाता है$j$-इसके ऊपर एक अण्डाकार वक्र का द्विभाजक। ऐसा करने के लिए, लीजेंड फॉर्म को मान लें$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ एक मुख्यमंत्री अण्डाकार वक्र के लिए $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ उपलब्ध है ($\lambda$एक बीजीय संख्या है)। दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि हमारे पास है$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$हमारे डेटाबेस में। समरूपता पर विचार करें$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$। के लिए संभावित लीजेंड रूपों का विश्लेषण करके$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$, कोई भी इसे दिखा सकता है $j$-वरवंत $j(2\tau)$ का है $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ इसलिए तीन उम्मीदवार हैं $j(2\tau)$, प्रत्येक एक स्पष्ट बीजीय संख्या के रूप में। अनुमान करने वाले$j(2\tau)$ संख्यात्मक रूप से के माध्यम से $q$-विस्तार, एक सही अभिव्यक्ति के लिए चुन सकते हैं $j(2\tau)$उनमें से और इसे डेटाबेस में जोड़ें। कंप्यूटिंग के लिए इस दृष्टिकोण का विवरण$j(2\tau)$ के अनुसार $j(\tau)$इस पत्र में पाया जा सकता है । के लिए एक अनुरूप पद्धति मौजूद है$j(3\tau)$। इसलिए उदाहरण के लिए शुरू$j(i)=1728$किसी भी दो सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $m$ तथा $n$, के लिए एक सटीक अभिव्यक्ति $j\left(2^m3^ni\right)$प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए$j(2i)=66^3$ तथा $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$।