केस स्टडी: ZFC में क्विलन के छोटे ऑब्जेक्ट तर्क को बनाने और साबित करने में क्या लगता है?
मैं श्रेणी सिद्धांत में प्रमेयों से ब्रह्मांडों पर निर्भरता को दूर करने के बारे में पीटर शोल्ज़ के दिलचस्प सवाल पर थोड़ा खो गया हूं । विशेष रूप से, मुझे यह स्वीकार करने के लिए मजबूर किया जा रहा है कि मैं वास्तव में नहीं जानता कि जब प्रतिस्थापन किया जा रहा है, तो कभी भी बुरा न मानें जब इसे "आवश्यक तरीके से" लागू किया जाए। इसलिए मैं घटना के एक ठोस उदाहरण के माध्यम से काम करना चाहता हूं। मैं समझता हूं कि प्रतिस्थापन को वास्तव में "स्वयंसिद्ध" के रूप में सोचा जाना चाहिए जो आवर्ती पुनरावृत्ति की अनुमति देता है। मेरी समझ यह है कि श्रेणी सिद्धांत एक भारी-शुल्क तरीके से पुनरावृत्ति का उपयोग नहीं करने के लिए जाता है (हालांकि, गणित की अन्य शाखाओं की तुलना में अधिक, इसकी बहुत सारी परिभाषाएं हैं जो कम से कम प्राइमा संकाय में नैटिवियल लेवी जटिलता है। उदाहरण के लिए, मुझे लगता है। सूत्र$\phi(x,y,z,p,q)$ यह कहते हुए कि सेट $z$ और कार्य $p: z \to x$ तथा $q: z \to y$ सेट का एक श्रेणीबद्ध उत्पाद हैं $x,y$ वाक्यात्मक है $\Pi_1$, और बाइनरी उत्पाद सेट की श्रेणी में मौजूद है, यह कथन वाक्यात्मक है $\Pi_3$ (पाठ्यक्रम की सीमित मात्रा की अनदेखी)।
निम्नलिखित प्रमेय है, मुझे लगता है, श्रेणी-सिद्धांत-गैर-उपयोग-पुनरावर्ती के उल्लेखनीय अपवादों में से एक:
प्रमेय [क्वलेन] "छोटी वस्तु तर्क": आज्ञा देना$\mathcal C$ स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी हो, और जाने दो $I \subseteq Mor \mathcal C$आकारिकी का एक छोटा सा सेट हो। लश्कर$\mathcal L \subseteq Mor \mathcal C$ के रूप में आकारिकी के सहसंबंधों के कोबेज-परिवर्तन के ट्रांसफ़ेक्ट कंपोजिट के पीछे हटने का वर्ग हो $I$, और जाने $\mathcal R \subseteq Mor \mathcal C$ उन आकारिकी को कमजोर रूप से सही ओर्थोगोनल के आकारिकी में शामिल करें $I$। फिर$(\mathcal L, \mathcal R)$पर एक कमजोर कारक प्रणाली है$\mathcal C$।
प्रमाण के लिए, nlab देखें । मूल रूप से, कारकों का निर्माण अभिकर्मक पुनरावृत्ति द्वारा किया जाता है। पुनरावृत्ति मुझे "आवश्यक" लगती है क्योंकि निर्माण के प्रत्येक चरण में नया डेटा पेश किया जाता है।
औपचारिककरण:
मुझे लगता है कि यह प्रमेय और इसका प्रमाण एमके में सीधे-सीधे औपचारिक रूप से हैं, जहां श्रेणी-सिद्धांतिक "छोटे / बड़े" भेद को एमके के "सेट / क्लास" के रूप में व्याख्या की जाती है। मैं इस बात पर टिप्पणी करने के लिए योग्य नहीं हूं कि क्या सबूत एनबीजी में काम करता है, लेकिन बयान कम से कम सीधे तौर पर समझ में आता है।
जब ZFC में औपचारिक होने की बात आती है, तो हमारे पास छोटे / बड़े अंतर के संबंध में विकल्प हैं:
एक विकल्प के लिए एक "ब्रह्मांड" शुरू करना है $V_\kappa$(जो, अगर हम वास्तव में ZFC में काम करने की कोशिश कर रहे हैं, तो सामान्य से कम कमजोर ब्रह्मांड होगा)। हम "छोटे" का अर्थ "में" करेंगे$V_\kappa$"" हम "वास्तव में बड़ी वस्तुओं" पर विचार नहीं करेंगे - हम जो भी बात करते हैं वह एक सेट होगा - विशेष रूप से, हर श्रेणी जिसके बारे में हम बात करते हैं, वह सेट-आकार होगा, भले ही "प्रति" "छोटा" न हो। "स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी" का अर्थ है "$\kappa$स्थानीय, स्थानीय स्तर पर $\kappa$एक मजबूत के साथ -allall श्रेणी $\kappa$-स्मॉल, $\lambda$-कुछ नियमित के लिए प्रस्तुत करने योग्य जनरेटर $\lambda < \kappa$"(मुझे नहीं पता कि यह कहने का फर्क पड़ता है या नहीं।" $V_\kappa$ सोचते $\lambda$ एक नियमित कार्डिनल है)।
एक अन्य विकल्प किसी भी ब्रह्माण्ड का परिचय नहीं देना है, और "लघु" की व्याख्या "सेट-साइज़" से है। इस मामले में, हम जिस भी "बड़े" ऑब्जेक्ट के बारे में बात करते हैं, वह छोटे मापदंडों से निश्चित होना चाहिए। तो हम वस्तुओं की एक पैरामीटर-निश्चित श्रेणी, आकृति-विज्ञान के एक पैरामीटर-निश्चित वर्ग, आदि को परिभाषित करने के लिए एक श्रेणी को परिभाषित करते हैं। यह प्रतिबंधात्मक लग सकता है, लेकिन यह स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य मामले में ठीक काम करेगा, क्योंकि हम स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी को परिभाषित कर सकते हैं।$\mathcal C$ परिभाषित किया जाना है, मापदंडों के सापेक्ष $(\lambda, \mathcal C_\lambda)$ (कहां है $\lambda$ एक नियमित कार्डिनल है और $\mathcal C_\lambda$ एक छोटा सा है $\lambda$-संयुक्त श्रेणी), की श्रेणी के रूप में $\lambda$-और वस्तुओं में $\mathcal C_\lambda$।
अब, हाथ में प्रमेय के लिए, दृष्टिकोण (2) साफ-सुथरा लगता है क्योंकि आवश्यक "ट्रान्सलेशन" सीधा है, और एक बार यह हो जाने के बाद, मूल प्रमाण को संशोधन के बिना काम करना चाहिए। मुझे लगता है कि (2) की मुख्य कमियां कहीं और आती हैं। उदाहरण के लिए, स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों की श्रेणी के बारे में प्रमेय तैयार करना शायद एक नाजुक मामला होगा। सामान्य तौर पर, श्रेणियों के बारे में विभिन्न प्रमेय होंगे जो साफ, वैचारिक सूत्रीकरण और प्रमाण हैं जब शामिल की गई श्रेणियां छोटी होती हैं, लेकिन जिन श्रेणियों में बड़े होते हैं उन्हें कष्टप्रद तकनीकी संशोधनों की आवश्यकता होती है। यह ऐसे कारणों के लिए है, जो अधिक पसंद करते हैं (1) बड़े पैमाने पर श्रेणी-सिद्धांत परियोजनाओं के पक्षधर हैं।
तो चलिए मान लेते हैं कि हम दृष्टिकोण (1) का अनुसरण कर रहे हैं। सवाल तो बनता है:
प्रश्न 1: सटीक रूप से निम्नलिखित प्रमेय के दृष्टिकोण (1) को बनाने और साबित करने के लिए हमें किस प्रकार के ब्रह्मांड की आवश्यकता है?
प्रश्न 2: ZFC द्वारा ऐसे कितने ब्रह्मांडों के अस्तित्व की गारंटी है?
संभवतः, प्रश्न 2 का उत्तर यह होगा कि इस तरह के बहुत सारे ब्रह्मांड हैं - पर्याप्त हैं ताकि हम ऐसा कर सकें, जैसे एक श्रेणी दी जाती है, उस ब्रह्मांड को छोटा करने के लिए एक ब्रह्मांड को पास किया जाता है और उस ब्रह्मांड के लिए प्रमेय का आह्वान किया जाता है। ।
प्रश्न 3: प्रश्न 1 और 2 का उत्तर देने के लिए हमें कितनी दूर जाना चाहिए?
क्या हमें प्रमेय के प्रमाण का गहराई से विश्लेषण करना है? क्या मापदंड का एक आसान रूब्रिक है जो हमें प्रमाण पर नज़र डालने की अनुमति देता है और इस तरह के 99% प्रमेयों के लिए, आसानी से कहता है कि यह "पास" बिना चीजों में बहुत ज्यादा बहक जाता है? या फिर कुछ औपचारिक रूपक भी हैं जिनसे हम इस तरह की अपील कर सकते हैं कि यहां तक कि एक कंप्यूटर भी जांच सकता है कि चीजें ठीक हैं?
जवाब
जेकब लुरी की टिप्पणी प्रश्न १ का उत्तर देती है। अर्थात्, यह मानते हुए कि मैंने अपनी टिप्पणी में जो अनुमान दिए हैं, वे सही हैं और प्रमेय को सिद्ध करने के लिए यह मान लेना पर्याप्त होगा कि
- $\kappa$ नियमित है
और कि
- हर एक के लिए $\mu < \kappa$, वहां मौजूद $\rho < \kappa$ ऐसा है कि $\mu \ll \rho$ (जिसका अर्थ है कि $\mu' < \mu, \rho' < \rho \Rightarrow (\rho')^{\mu'} < \rho$) का है।
शायद इस संपत्ति की $\kappa$प्रतिस्थापन के "रूप" के रूप में देखा जा सकता है। लेकिन वास्तव में, हमारे पास दो स्थितियां हैं$\kappa$ जो कि मेटामेटामेटिकल के बजाय विशुद्ध रूप से सेट-थेरैटिक हैं, ताकि प्रश्न 1 का उत्तर मुझे जितना चाहिए था, उससे कहीं ज्यादा साफ-सुथरा हो।
यह हमें प्रश्न 2 को संबोधित करने की अनुमति देता है। संभवतः, इसका परिणाम यह है कि ZFC साबित करता है कि बहुत सारे और बहुत सारे हैं $\kappa$ ऊपर की दो शर्तों को पूरा करना।
जब प्रश्न 3 की बात आती है, तो ऐसा प्रतीत होता है कि इस दृष्टिकोण में हम वास्तव में प्रमाण में बहुत गहराई तक जाने की आवश्यकता है। वास्तव में, ऐसा लगता है कि इस दृष्टिकोण को आगे बढ़ाने के लिए, हमें प्रमाण में कुछ वास्तविक गणितीय सामग्री जोड़ना चाहिए, और वास्तव में एक मजबूत कथन साबित करना चाहिए। आगे के प्रश्न फिर बन जाते हैं
क्या आम तौर पर इस तरह से "सबसे" श्रेणी-प्रधान सिद्धांत का "निर्माण" करना संभव होगा, या "ZFC-ify श्रेणी सिद्धांत" परियोजना के दौरान अन्य मुद्दे दिखाई देंगे?
यदि (1) का उत्तर "हाँ" है (या यदि यह "आमतौर पर" नहीं है "और हम उन मामलों पर अपना ध्यान केंद्रित करते हैं जहां यह" हाँ "है), तो" कितना अतिरिक्त काम "वास्तव में ऐसी परियोजना होगी?
मेरा अनुमान है कि (1) का उत्तर यह है कि जब श्रेणी सिद्धांत में आवर्ती पुनरावर्तन के उपयोग की बात आती है, तो यह वास्तव में ऐसा होगा कि प्रतिस्थापन का उपयोग इस तरह से समाप्त किया जा सकता है, लेकिन इससे भी अधिक महत्वपूर्ण रूप से मुझे यह बात याद आती है: जैसा कि जैकब लुरी ने पीटर स्कोल्ज़ के सवाल के जवाब में तर्क दिया है, ZFC- इफाइंग श्रेणी के सिद्धांत के साथ कांटेदार मुद्दे ट्रांसफ़रेंट पुनरावृत्ति के साथ नहीं हैं, बल्कि स्वतंत्र रूप से "बड़ी श्रेणियों के बीच" आगे जाने में सक्षम हैं विभिन्न तरीकों से "और" छोटी श्रेणियां "।
मेरा अनुमान है कि (2) का उत्तर यह है कि ट्रांसफ़ेक्ट पुनरावर्तन के "सबसे" श्रेणी-सिद्धांत संबंधी उपयोगों के लिए, वास्तव में उन्हें "निर्माण" करने के लिए बहुत सीधा होना चाहिए ताकि वे ऊपर के गुणों के साथ "बेबी ब्रह्मांड" में फिट हों। कुछ इसी तरह, और यह कि थोड़े से अभ्यास के साथ, व्यक्ति लगभग एक नज़र में यह सत्यापित करने की क्षमता विकसित कर सकता है कि यह संभव है, हालांकि अभी भी एक प्रमेय-दर-प्रमेय के आधार पर। लेकिन मैं गलत साबित होना पसंद करूंगा और श्रेणी सिद्धांत में एक प्रमेय दिखाया जहां इस तरह का दृष्टिकोण विफल रहता है!
अंत में, यह एक खुले प्रश्न के रूप में निकलता है कि क्या इस सब को करने का एक "अधिक स्वचालित" तरीका है - शायद "हमारे ब्रह्मांड की तुलना में किसी भी तरह के प्रतिस्थापन को संतुष्ट करने की आवश्यकता नहीं है"।