खोज रहा है $\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$
$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ वुल्फ्रामाल्फा के अनुसार यह सीमा बराबर है $0$।
इसलिए यह मेरा काम है
$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ आउटपुट है $\infty - \infty$ जो अनिश्चित रूप है।
तो अगला मैं मूल रूप से, लेकिन यह उसी हर पर: $\frac{1}{3}$ $((3x + 2x^3 - 2(x^2+1)^{\frac{3}{2}})$ और बदल गया $2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}$ साथ काम करने में कुछ आसान है $2\sqrt{x^2+1}+2x^{2}\sqrt{x^2+1}$
अब सीमा है $\frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} ((3x + 2x^3-2\sqrt{x^2+1} -2x^{2}\sqrt{x^2+1})$ और यह वह जगह है जहां मैं अगले करने के लिए फंस गया हूं और खो गया हूं।
जवाब
$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{\left(x+\frac{2}{3}x^3\right)^2-\frac{4}{9}(x^2+1)^3}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=$$ $$=\frac{-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{9}}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=\frac{-\frac{1}{3x}-\frac{4}{9x^3}}{\frac{1}{x^2} + \frac{2}{3}+ \frac{2(1+\frac{1}{x^2})^{\frac{3}{2}}}{3}}\rightarrow0$$ के लिये $x\rightarrow+\infty.$
सबसे पहले, निरीक्षण करें $$3x+2x^3-2(x^2+1)^{3/2}=\frac{3x^2+4}{-3x-2x^3-2\sqrt{x^2+1}-2x^2\sqrt{x^2+1}}.$$ शीर्ष एक द्विघात है, जबकि नीचे के क्रम पर बढ़ता है $x^3$, इसलिए सीमा के रूप में $x\to \infty$ शून्य है।
द्विपद सन्निकटन द्वारा
$$(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=(x^2)^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac1{x^2}\right)^{\frac{3}{2}} = x^3+\frac32 x +O\left(\frac1{x}\right)\implies \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}+x+O\left(\frac1{x}\right)$$
इसलिए
$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=O\left(\frac1{x}\right)\to 0$$
संकेत:
WLOG $x=\tan y\implies y\to\dfrac\pi2$
$$\dfrac{3\tan y+2\tan^3y-2\sec^3y}3$$
$$=\dfrac{3\sin y\cos^2y+2\sin^3y-2}{3\cos^3y}$$
अंश करनेवाला $$=3(1-\sin^2y)\sin y+2\sin^3y-2=\cdots=(1-\sin y)^2(2\sin y+1)$$
अंत में उपयोग करें $$\dfrac{1-\sin y}{\cos y}=\dfrac{\cos y}{1+\sin y}$$
आपको उसे याद करना चाहिए $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, जबसे $(c-d)(c+d)=c^2-d^2$। इससे आपको वर्गमूल के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने में मदद करनी चाहिए।
हालाँकि मुझे समझ में नहीं आता है कि आपने जो लिखा है उसे कैसे प्राप्त किया है, जो मैं देख सकता हूँ उससे आपको मिलना चाहिए:
$$ x+ \frac{2x^3}{3}-\frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x +\frac{2}{3}\Big( \frac{x^6-(x^2+1)^3}{x^3 +(x^2+1)^{ \frac{3}{2} } } \Big)=x+\frac{2}{3}\frac{-3x^4-3x^2-1}{x^3+(x^2+1)^{ \frac{3}{2} }}$$
$$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}$$ बहुत अंतिम अवधि के लिए, चलो $\frac{1}{x^2}=\epsilon$ और द्विपद विस्तार का उपयोग करें $$(1+\epsilon)^{3/2}=1+\frac{3 \epsilon }{2}+\frac{3 \epsilon ^2}{8}+O\left(\epsilon ^3\right)$$ बदलने के $\epsilon$ द्वारा द्वारा $\frac{1}{x^2}$ बनाने के लिए $$\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}=1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)$$ $$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)\right)$$ $$A=-\frac{1}{4 x}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)$$