की दूरी की गणना कैसे करें $k=0$ स्टेबलाइजर कोड?
इसे प्रश्न के अनुवर्ती के रूप में देखा जा सकता है " स्टेबलाइजर कोड की दूरी की गणना कैसे करें? "। स्वीकृत उत्तर को सारांशित करना: दूरी सेट का न्यूनतम भार है$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ कहां है $S$ स्टेबलाइजर समूह (द्वारा उत्पन्न) है $K_n$पिछले प्रश्न में), और $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ पाउली ग्रुप ऑफ ऑर्डर में इसका सामान्य रूप है $2^{2N+1}$ (कहां है $N$= संख्या की संख्या; यहाँ समूह के वास्तविक संस्करण का उपयोग करते हुए)।
मेरा प्रश्न निम्नलिखित है: क्या यह पकड़ है $k=0$स्टेबलाइजर कोड? मुझे संदेह है कि यह हमेशा पकड़ में नहीं आता है लेकिन इसके लिए एक संदर्भ नहीं मिल सकता है ... यह ज्यादातर मामलों के लिए काम करता है, लेकिन कुछ सरल काउंटर उदाहरणों को भी खोजना आसान है: GHZ राज्य ले लो$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, साथ से $K_1=X_1X_2$ तथा $K_2=Z_1Z_2$। इस मामले में,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, तो सेट $E$खाली है। इस प्रक्रिया में कुछ स्पष्ट रूप से टूट गया है: मुझे लगता है कि दूरी 2 होनी चाहिए। यहां क्या हो रहा है?
जवाब
ध्यान दें कि मामले में $k = 0$, स्टेबलाइजर 'कोड' एक है $2^0 = 1$हिल्बर्ट अंतरिक्ष के आयामी उप-स्थान, जो यह कहना है कि यह एक एकल स्टेबलाइजर राज्य के होते हैं। इससे कोड की 'दूरी' जैसी सुविधाओं पर कुछ हद तक प्रतिकूल प्रभाव पड़ेगा।
"कोड दूरी" को अंततः एक पाउली ऑपरेटर के न्यूनतम वजन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है $E$ जो कि 'डिटेक्टेबल' नहीं है (जिसके द्वारा मेरा अर्थ है, पहचान से अलग पहचान) $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ कहां है $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$कोड में राज्य हैं। 1-आयामी उप-क्षेत्र के मामले में, केवल एक ही राज्य है$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$। इस प्रकार हम लेंगे$j,k \in \{ 0 \}$, वैसा ही किया $\delta_{j,k}$ पद हमेशा बराबर होता है $1$। लेकिन इसका मतलब है कि केवल परिभाषित करके$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, Knill-Laflamme हालत हमेशा संतुष्ट है। इस प्रकार, कोड की 'दूरी' एक के लिए परिभाषित की जाती है$k = 0$ स्टेबलाइजर कोड खाली सेट पर न्यूनतम के रूप में।
स्टेबलाइजर कोड के लिए कम अमूर्त दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, पाउली ऑपरेटरों के वजन पर विचार करने के लिए, जो कोड के सामान्य में हैं, यह ध्यान रखें कि हम ऐसे ऑपरेटरों के बारे में बात कर रहे हैं जो कोड-स्पेस को अपने आप में मैप करते हैं, लेकिन आनुपातिक नहीं हैं के सदस्य स्टेबलाइजर समूह। लेकिन के लिए$k = 0$ ऑपरेटर जो राज्य का नक्शा बनाते हैं $\lvert \psi \rangle$खुद स्टेबलाइजर्स के लिए जरूरी आनुपातिक हैं, इसलिए ऐसा कोई ऑपरेटर मौजूद नहीं है। फिर, हम ऑपरेटरों के एक खाली सेट पर न्यूनतम वजन पर विचार कर रहे हैं।
आपके सम्मेलनों के अनुसार, दूरी के बारे में असीम रूप से बात करने के लिए संभवतः समझदार हो सकता है ; लेकिन व्यवहार में यह कहना बेहतर होगा कि दूरी अपरिभाषित है।
क्लासिक पेपर में https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, पृष्ठ 10 पर, ए की दूरी $[n,0]$कोड को किसी भी स्टेबलाइजर के सबसे छोटे गैर-शून्य वजन के रूप में परिभाषित किया गया है। इस परिभाषा के लिए भौतिक व्याख्या दी गई है, “एक$[[n, 0, d]]$ कोड एक क्वांटम स्थिति है, जैसे कि जब एक डिकॉयेंस के अधीन होती है $[(d − 1)/2]$ निर्देशांक, यह निर्धारित करना संभव है कि कौन से निर्देशांक डिकोड किए गए थे। "