की न्यूनतम पाली $\sqrt[3]{2}$ ऊपर $\Bbb{Q}$ के बराबर है $\det(T_a - xI)$ कहां है $T_a$ एक मैट्रिक्स से अधिक है $\Bbb{Q}$यह बहु का प्रतिनिधित्व करता है। द्वारा द्वारा $a$।

Aug 18 2020

चलो $K/F$ डिग्री का क्षेत्र विस्तार हो $n \in \Bbb{N}$ और प्रत्येक के लिए $a \in K$ परिभाषित करना $L_a(x) = a x$। फिर$L_a(x)$ एक $F$का -लाइन परिवर्तन $K$ आयाम के एक वेक्टर स्थान के रूप में $n$। तो भेज दो$K$ में $F^{n \times n}$ मैट्रिक्स रिंग भेजकर $a$ सेवा मेरे $T_a = [ L_a(\theta_1) \ \cdots \ L_a(\theta_n) ]$ जहाँ पर हमारे पास है $L = \{ a_1 \theta_1 + \dots + a_n \theta_n : a_i \in F\}$ कुछ के लिए $\theta_i$ आधार में $K$

फिर के लिए $a \in K$, $f(x) = \det (T_a - xI) \in F[X]$ विशिष्ट बहुपद, हमारे पास वह है $f(a) = 0$ यानी कि $a$ एक विशेषता बहुपद की जड़ है जो डिग्री का एक प्रकार का पौधा है $n$ वास्तव में बहुपद है $m_{a, F}(x)$ के लिए न्यूनतम बहुपद $a$ ऊपर $F$

मैं इसे सामान्य मामले में साबित करने की कोशिश कर रहा हूं, अर्थात $f(a) = 0$ या इसके बराबर है $T_a(y) = ay$ सबके लिए $y \in F^n$

मेरे पास अब तक क्या है:

$$ T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i L_a(\theta_i) \\ \implies T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i (a \theta_i) = a \cdot \dots $$

तो मुझे अब तक यही मिला है। फिर समस्या कहती है, इस विचार का परीक्षण करें कि डिग्री के मोनिक को खोजने के लिए$3$ द्वारा संतुष्ट $a = \sqrt[3]{2}$

इसलिए मैं निर्धारक की गणना करना चाहता हूं:

$$ \begin{pmatrix} x - \sqrt[3]{2} & 0 & 0 \\ 0 & x - \sqrt[3]{4} & 0 \\ 0 & 0 & x - 2 \end{pmatrix} $$

जहां मैंने सादगी के लिए संकेत को उलट दिया है। मैंने ऊपर से गुणा करके गणना की$\theta_1 = 1, \theta_2 = \sqrt[3]{2}, $ तथा $\theta_3 = \sqrt[3]{4}$ द्वारा द्वारा $a$ और इससे घटाना $x$

मैं ला रहा हूँ:

$$ x^3 - 2 x^2 + (2 + 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}) x - 4 $$

जो बहुपद नहीं है $F$। मुझे जो बुरा पद मिला है$(-\sqrt[3]{2})(-2) + (-\sqrt[3]{4})(-2) + (-\sqrt[3]{2})(-\sqrt[3]{4})$ एक तार्किक, सममित तरीके से।

मैं अपनी गणना में कहां गलत हो गया हूं?

जवाब

1 Dave Aug 18 2020 at 08:43

मुझे लगता है कि आपने गणना की है $T_a$गलत तरीके से। मुझे लगता है कि आप ऑर्डर किए गए आधार का उपयोग कर रहे हैं$(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$ के लिये $K$ जैसा $\mathbb Q$-वेक्टर स्पेस ( संपादित करें: मैं देख रहा हूं कि आप हैं)। इसलिए आवेदन कर रहे हैं$L_a$ पहला आधार वेक्टर देता है $L_a(1)=\sqrt[3]{2}$। इस आदेशित आधार के सापेक्ष समन्वयक वैक्टर के संदर्भ में, यह है$$L_a\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ तो यह पहला कॉलम होना चाहिए $T_a$। मैं अन्य स्तंभों की जांच करने के लिए इसे आपके पास छोड़ दूंगा।

अंत में, एक छोटा नोट: यह होना चाहिए $\det(xI-T_a)$ कम से कम बहुपद के लिए राक्षसी होना।