की सीमा का आदर्श $G/U \subset \overline{G/U}$

Question

लश्कर $G$ एक अर्ध साधारण बीजगणितीय समूह बनें, $B \subset G$ एक बोरेल उपसमूह है और $U \subset B$ का एकरूप मूलक है $B$। हम विविधता पर विचार कर सकते हैं$G/U$। हमें भी निरूपित करते हैं$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$। यह ज्ञात है कि प्राकृतिक रूपवाद$G/U \rightarrow \overline{G/U}$एक खुला एम्बेडिंग है। लश्कर$\partial{G/U}$ की सीमा हो $G/U$ के भीतर $\overline{G/U}$। ध्यान दें कि अब$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, जहां योग प्रमुख पात्रों के माध्यम से चलता है $\mu$ का $G$ (हम कुछ मैक्सिमम टोरस तय करते हैं $T \subset B$, यहां $V(\mu)$ का विडंबनापूर्ण प्रतिनिधित्व है $G$ उच्चतम भार के साथ $\mu$) का है।

दावा: का आदर्श $\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$ द्वारा उत्पन्न होता है $V(\mu)$ साथ से $\mu$नियमित (सख्ती से प्रभावी) होना। इस दावे को कैसे साबित करें? शायद कोई सन्दर्भ हो?

Answer 1

यहाँ इसे देखने का एक तरीका है, वर्गीकृत करके $G$-विनिर्वत मूलक आदर्श। (यह बोनस है कि यह स्पष्ट रूप से सीमा का वर्णन करता है।)

लेम्मा: $G$-विनारायण आदर्श $I$ का $\mathbb{C}[G/U]$ वजन के सेट के साथ आपत्ति में हैं $S$ ताकि के लिए $\lambda\in S$ तथा $\mu > \lambda$, $\mu\in S$। इस तरह के एक आदर्श सभी के लिए कट्टरपंथी iff है$\lambda\notin S,$ अपने पास $n\lambda\notin S$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$।

इसे देखने के लिए, ध्यान दें $G$-इंवरसेन आपको बताता है कि $I$ राशि के रूप में विभाजित होना चाहिए $$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$ कुछ सेट के लिए $S$। अब अगर$\lambda\in S,$ गुणन मानचित्र $V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ और इसलिए यह विशेषण है $\mu > \lambda$ में भी होना चाहिए $S$।

कट्टरपंथी आदर्शों के बारे में कथन इसी प्रकार है।

इस कथन से, आप देख सकते हैं कि न्यूनतम नॉनज़रो $G$-इन्वारिएंट रैडिकल आदर्श (जो जरूरी सीमा को काट देता है) लेने से मेल खाता है $S$ सभी नियमित वजन का सेट।