की श्रेणी से समूहों का पुनर्निर्माण $G-\mathbf{Sets}$; एक समूह होमोमोर्फिज्म का निर्माण [डुप्लिकेट]
मैं निम्नलिखित कथन के प्रमाण के साथ आने की कोशिश करता हूं, लेकिन मुझे यह थोड़ा मुश्किल लगता है। मुझे उम्मीद है कि मुझे इस साइट पर किसी से कुछ मदद मिल सकती है। मुझे लगता है कि यह वही है, जो नैकतलाब पर - तन्नाकियन द्वंद्व (खंड में) का प्रमाण देते हैं$G-\mathbf{Sets}$) है। लेकिन मैं वास्तव में उस प्रमाण का पालन नहीं कर सकता:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations।
बयान। चलो$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ भुलक्कड़ फ़नकार हो, कहाँ $G-\mathbf{Sets}$ समूह द्वारा समूह कार्रवाई के साथ सुसज्जित सेट की श्रेणी है $G$। मैं निम्नलिखित तथ्य के प्रमाण को समझने की कोशिश कर रहा हूं$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$
मैंने क्या किया है
मैंने एक नक्शा बनाने में कामयाबी हासिल की है $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ यह निम्नलिखित नियम द्वारा किया गया था $\varphi(g)=\eta^g$, कहां है $\eta_S^g:S\to S$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\eta_S^g(s)=s\cdot g$। यह जाँचना सीधा है कि इससे प्राकृतिक परिवर्तन होता है$F$ सेवा मेरे $F$ और यह भी एक समूह समरूपता है।
हालांकि , दूसरा तरीका मेरे लिए अधिक समस्याग्रस्त है। मैं एक नक्शा खोजना चाहता हूं$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ यानी, एक प्राकृतिक परिवर्तन $\eta$, मैं इसे एक समूह तत्व को सौंपना चाहता हूं $g\in G$।
प्राकृतिक परिवर्तन $\eta$ निम्नलिखित कम्यूटेटिव आरेख द्वारा परिभाषित किया गया है $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ कहां है $\eta_X$ में एक रूपवाद है $\mathbf{Sets}$ तथा $f:X \to Y$ श्रेणी में एक रूपवाद है $G-\mathbf{Sets}$। जबसे$F$ सिर्फ भुलक्कड़ फ़नकार है, ऊपर का चित्र कम हो जाता है $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$
सरोकार और सवाल
प्राकृतिक परिवर्तन की परिभाषा में - मेरे पास वह है - कोई भी दिया गया $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$एक रूपवाद है। एक प्राकृतिक$G-\text{Set}$ बस लेने के लिए है $X=G$ और इसे समूह संरचना के माध्यम से खुद पर कार्य करने दें: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ तो कम्यूटेटिव डायग्राम अब बन गया $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$
टिप्पणी 1. मुझे याद है कि एक प्रोफेसर ने मुझे बताया था कि रूपवाद$\eta_G$ यह पूरी तरह से समझा जाता है कि यह पहचान तत्व को क्या करता है $e\in G$ (जिससे मुझे यह समझने में सक्षम होना चाहिए कि समूह समरूपता का निर्माण कैसे करें), $$e\mapsto \eta_G(e).$$
मुझे वास्तव में समझ में नहीं आता है कि ऊपर का क्या मतलब है। मुझे लगता है कि मुझे भुलक्कड़ फ़नकार के बारे में कुछ गलत समझ आया है। जब मैं भुलक्कड़ फ़नकार के बारे में सोचता हूँ$F:A\to B$, मुझे लगता है कि फ़नकार हर उस चीज़ को भूल जाता है जो उसमें मौजूद है $A$, लेकिन में मौजूद नहीं है $B$। हमारे मामले में, यह समूह क्रियाओं की संरचना को भूल जाता है। और इसलिए, विशेष रूप से, मैं एक होने की संपत्ति का उपयोग नहीं कर सकता$G$असमान मानचित्र। केवल एक सेट-सिद्धांत मानचित्र होने के गुण।
प्रश्न 1।
अगर $\eta_G(e)=s$, और अगर प्रोफेसर ने मुझे बताया कि मैं क्या करना चाहूंगा, मुझे लगता है कि मैं इस प्रकार से कुछ कारण बताऊंगा $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$जहाँ मैंने दूसरी समानता में समूह समरूपता के गुण का उपयोग किया। लेकिन दूसरी ओर, अगर मैं इसे एक समूह समरूपता के रूप में मानना चाहता हूं, तो मुझे लगता है कि मुझे इसे शुरू करने के लिए करना था। अर्थात्,$\eta_G$आइडेंटिटी को आइडेंटिटी मैप करना चाहिए (मेरे तर्क के अनुरूप होने के लिए)। इसलिए मुझे लगता है कि मेरा तर्क विफल है।
मेरा सवाल है: उसका क्या मतलब है?
मुझे नहीं लगता कि मैंने ऊपर जो किया वह किसी भी मायने में है। लेकिन मुझे लगता है कि मैंने श्रेणी में रूपकों के गुणों का उपयोग करते हुए दूसरों को देखा है$A$, भुलक्कड़ फ़नकार को लागू करने के बाद, इसलिए मेरा तर्क। एक बार फिर, मैं वास्तव में निश्चित नहीं हूं कि मैं क्या कर रहा हूं। तो मैं बहुत गलत हो सकता हूं।
प्रश्न 2. यह मुझे कैसे बताता है कि एक प्राकृतिक परिवर्तन का नक्शा कहाँ है?
दिए गए $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, मैं इसे कहाँ मैप करूँ? क्या मैं इसे निम्नानुसार मैप करता हूं$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ ऐसा करते हुए, क्या मुझे पता है कि मैंने पूरी तरह से बता दिया है कि हर प्राकृतिक परिवर्तन को कहाँ पर मैप करना है?
प्रश्न 3. मुझे लगता है कि मुझे भी, किसी भी तरह, समूह परिवर्तन के साथ होमोमोर्फिज्म का निर्माण करते समय प्राकृतिक परिवर्तन की परिभाषा में कम्यूटेटिव आरेख का उपयोग करना पड़ता है, जो मैंने नहीं किया है? मुझे लगता है कि ऊपर दिया गया मेरा सुझाव यह करने का सही तरीका नहीं है। क्या आपके पास कोई विचार है कि मैं नक्शे का निर्माण कैसे कर सकता हूं?
मुझे वास्तव में खुशी होगी कि मुझे इस साइट पर किसी से कोई मदद मिल सकती है इसे बेहतर समझने के लिए। क्योंकि मैं वास्तव में खो गया हूं, और भ्रमित हूं।
शुभकामनाएं,
जोएल
जवाब
मैं बाएं का उपयोग करने जा रहा हूं $G$-सेट्स, सही नहीं।
प्रश्न 1 और 3 ।
आप लिख नहीं सकते $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$, हम नहीं मान रहे हैं $\eta_G:G\to G$ एक समूह समरूपता है, केवल यह कि यह एक रूपवाद है $G$-सेट्स आप यह कह सकते हैं कि$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ हालाँकि (यदि आप सही समूह क्रियाओं पर जोर देते हैं तो आप आदेश को उलट देंगे)।
अपने कम्यूटेटिव आरेख पर फिर से विचार करें:
$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$
यहाँ, हम नक्शा दे सकते हैं $G\to Y$ मूल्यांकन-पर-$y$ नक्शा $g\mapsto gy$ कहां है $y\in Y$ तय किया गया है (ध्यान दें कि मूल्यांकन मानचित्र ऑर्बिट-स्टेबलाइज़र प्रमेय की स्थापना में भी उपयोगी है - इसके तंतुओं के कोसेट होते हैं $y$के स्टेबलाइजर)। फिर हम शुरू होने वाले आरेख का पीछा करते हैं$e\in G$ ऊपरी बाएँ में।
यदि हम ऊपरी-दाएँ रास्ते का अनुसरण करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$। निचले-बाएँ रास्ते में,$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$। इसलिए हम बराबरी कर सकते हैं$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$। यानी हर आटोमोटिव$\eta$ के लिए आवेदन किया $G$-सेट $Y$ केवल एक विशेष समूह तत्व को लागू कर रहा है $\eta_G(e)\in G$।
कायोत्सर्ग ३ ।
हाँ, $\eta\mapsto \eta_G(e)$। यह सभी के लिए लागू होता है$\eta\in\mathrm{Aut}\,F$।