की उम्मीद $\int_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s$ [डुप्लिकेट]

Dec 08 2020

मैं उम्मीद की गणना करने की कोशिश कर रहा हूं

$$\int\limits_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s,$$

कहां है $(W_t)$ एक वीनर प्रक्रिया है।

मुझे बताया गया था कि इस उम्मीद का मूल्य शून्य है। क्या कोई कृपया कोई सुराग दे सकता है कि यह शून्य क्यों होगा?

जवाब

11 Kevin Dec 08 2020 at 20:15

निर्माण के द्वारा, इओट अभिन्न, $I_t=\int_0^t X_s\text{d}W_s$, अगर एक मार्टिंगेल है $\int_0^t \mathbb{E}[X_s^2]\text{d}s<\infty$

मार्टिंगेल संपत्ति, $\mathbb{E}_s[I_t]=I_s$ का तात्पर्य $\mathbb{E}[I_t]=I_0=0$

इसलिये $W_s\overset{d}{=}\sqrt{s}Z$, कहां है $Z\sim N(0,1)$, हम वास्तव में है \begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &= \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}\frac{1}{(1+sz^2)^2}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s \\ &\leq \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s\\ &=\int_0^t1\text{d}s \\ &=t<\infty. \end{align*}

@NHN उपरोक्त तर्क का उपयोग करने का सुझाव देता है,$\frac{1}{(1+x^2)^2}\leq1$ सबके लिए $x\in\mathbb{R}$, सीधे पाने के लिए \begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &\leq \int_0^t\mathbb{E}\left[1\right]=t<\infty. \end{align*}