किसी भी विषम प्राइम के लिए दिखाएं $p\geq 5,$ $(-3/p)=1$ या $ -1$ [डुप्लिकेट]

Aug 17 2020

किसी भी विषम प्राइम के लिए दिखाएं $$p\geq 5,$$ $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 1,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv -1,5\pmod{12} \end{cases}$$

अब तक मेरे पास यही है

(१) आज्ञा देना $$p\equiv 1\pmod{4}$$ फिर $$p\equiv 1\pmod{3}$$ लेना $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{1}{3} \right )=-1$$

(2) Let $$p\equiv 1\pmod{4}$$ फिर $$p\equiv 2\pmod{3}$$ लेना $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{2}{3} \right )=1$$

(3) Let $$p\equiv 3\pmod{4}$$ फिर $$p\equiv 1\pmod{3}$$ लेना $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )=1$$

(4) Let $$p\equiv 3\pmod{4}$$ फिर $$p\equiv 2\pmod{3}$$ लेना $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=-1$$

CRT सिस्टम को हल करने के बाद, $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 5,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv 1,-1\pmod{12} \end{cases}.$$

इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि मैं कहां गड़बड़ कर रहा हूं। किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।

जवाब

2 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 04:57

आपने कुछ गणनाएँ गड़बड़ कर दीं। कब$p\equiv1\pmod4$, $\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac{-1}p\right)\left(\dfrac{3}p\right)=1\left(\dfrac p3\right)$,

तो उन मामलों में $\left(\dfrac{-3}p\right)=1$ कब $p\equiv1\pmod3$ तथा $\left(\dfrac{-3}p\right)=-1$ कब $p\equiv2\pmod3$