कितने $3\times 3$ से अंक के साथ सरणियाँ $1$ सेवा $9$ बढ़ते आदेश के साथ हैं?
प्रविष्टियों में ए $3 \times 3$ सरणी में से सभी अंक शामिल हैं $1$ के माध्यम से $9$, व्यवस्था की ताकि हर पंक्ति और स्तंभ में प्रविष्टियाँ बढ़ते क्रम में हों। ऐसे कितने ऐरे हैं?
यह कॉम्बिनेटरिक्स पर एक प्रश्न है। मैंने झांकी का उपयोग करने और हुक संख्या का उपयोग करने की कोशिश की, लेकिन उसके बाद समझ नहीं आया कि कृपया इसे कैसे हल करें। सामान्य कॉम्बिनेटरिक्स का उपयोग करके हल किया जाए तो यह मेरे लिए आसान होगा। लेकिन कोई प्रतिबंध नहीं। यह तुम्हारी पसंद है
जवाब
संकेतन का उपयोग करना $(A,B,C)$ संख्या का वर्णन करने के लिए $C$ में स्थित है $A$ पंक्ति और $B$स्तंभ। समरूपता के कारण, किसी भी समाधान के पारगमन (मुख्य विकर्ण के पार प्रतिबिंब) एक अलग समाधान है, दूसरे शब्दों में, अगर हमारे पास एक समाधान है:$$\{(A_1,B_1,1), (A_2,B_2,2), (A_3,B_3,3), (A_4,B_4,4), (A_5,B_5,5), (A_6,B_6,6), (A_7,B_7,7), (A_8,B_8,8), (A_9,B_9,9)\}$$ फिर हमारे पास एक समाधान भी है: $$\{(B_1,A_1,1), (B_2,A_2,2), (B_3,A_3,3), (B_4,A_4,4), (B_5,A_5,5), (B_6,A_6,6), (B_7,A_7,7), (B_8,A_8,8), (B_9,A_9,9)\}$$
क्योंकि हर पंक्ति और स्तंभ को बढ़ते क्रम में होना चाहिए, हम जानते हैं कि हमारे समाधान में शामिल करना है $(1,1,1)$ तथा $(3,3,9)$।
नंबर डालने के लिए हमारे पास दो विकल्प हैं $8$। समरूपता के कारण, हम केवल समाधान के साथ विचार करेंगे$(3,2,8)$, और समाधान की संख्या को दोगुना करने की आवश्यकता होगी।
अब हमारे पास दो विकल्प हैं कि कहां रखा जाए $7$:
मामला एक: $(3,1,7)$
जो नंबर $6$ के रूप में बंद है $(2,3,6)$। जो नंबर$5$ में भी हो सकता है $(2,2,5)$ या $(1,3,5)$। अगर$(2,2,5)$, फिर संख्या $2,3,4$तीन शेष स्थानों में होना है; जैसे ही हम चुनते हैं कि कौन सा अंदर है$(2,1,X)$, तब बाकी जगह पर ताला लगा दिया जाता है, जिसके साथ तीन समाधान होते हैं $(3,1,7)$ तथा $(2,2,5)$। अगर$(1,3,5)$, तो हमारे पास होना चाहिए $(2,2,4)$, और केवल या तो है $(1,2,2)$ तथा $(2,1,3)$ या $(1,2,3)$ तथा $(2,1,2)$ एक और दो समाधान के लिए।
केस 2: $(2,3,7)$
संख्याएँ $5$ तथा $6$मुख्य एंटीडायंगल के तीन स्थानों में से दो में होना चाहिए (शीर्ष दाएं, मध्य वर्ग, और नीचे बाएं)। इसलिए हैं$3!=6$उन्हें असाइन करने के तरीके। दो मामलों में जहां कोई भी मध्य स्थान में नहीं है, संख्या$4$ मध्य स्थान में होना चाहिए, और संख्याओं के लिए दो संभावित व्यवस्थाएं हैं $2$ तथा $3$। अन्य चार मामलों में से प्रत्येक में, दो मामले हैं जहां संख्या$4$मुख्य प्रतिपक्षी पर शेष स्थान पर है और जहां यह नहीं है। इसके परिणामस्वरूप कुल 16 व्यवस्थाएँ होती हैं$(2,3,7)$।
इसलिए, कुल व्यवस्था है $2(3+2+2\cdot2+4\cdot3)=42$
$1$ और यह $9$क्रमशः ऊपरी बाएँ हाथ और निचले दाएँ हाथ के कोनों में स्पष्ट रूप से जाना चाहिए। यह देखना आसान है कि$5$ दोनों के समीप नहीं किया जा सकता है $1$ या $9$, इसलिए इसे "विरोधी" विकर्ण पर तीन स्थानों में से एक में जाना चाहिए। थोड़ा सा संकेतन करते हुए, हम संभावनाओं की संख्या लिख सकते हैं
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}+2\times\#\pmatrix{1&*&5\\*&&-\\&-&9}$$
जहां "$\#$'' ए $3\times3$ सरणी समाधानों की संख्या को दर्शाता है $1$, $5$, तथा $9$ प्रत्येक के साथ निर्दिष्ट स्थानों में $*$ के बीच एक संख्या समझा जाता है $1$ तथा $5$ और प्रत्येक $-$ के बीच एक संख्या $5$ तथा $9$। "$2\times\,$"समरूपता के लिए है जो होगा $5$निचले बाएं कोने में। उसी समरूपता से, हमारे पास है
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}=2\times\#\pmatrix{1&*&*\\*&5&-\\-&-&9}$$
और अब यह देखना आसान है कि तीनों $*$संख्याओं से भरा जा सकता है $2$, $3$, तथा $4$ बस में $3$ अलग-अलग तरीके, और इसी तरह तीनों के लिए $-$संख्याओं के साथ $6$, $7$, तथा $8$, ताकि
$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}=2\times3\times3$$
कुछ अलग समरूपता तर्क हमें बताता है
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&&-\\&-&9}=2\times\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}$$
और इस मामले में अब $4$ इसमें केवल एक ही स्थान है:
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}=\#\pmatrix{1&*&5\\*&4&-\\-&-&9}=2\times3$$
सब कुछ एक साथ मिलाकर, कुल व्यवस्था है
$$(2\times3\times3)+(2\times2\times\times2\times3)=18+24=42$$
रिमार्क (बाद में जोड़ा गया): स्पष्टता और सटीकता के लिए, "कुछ अलग" समरूपता जो हमें बताती है
$$\#\pmatrix{1&*&5\\*&*&-\\-&-&9}=\#\pmatrix{1&*&5\\*&-&-\\*&-&9}$$
संख्यात्मक प्रतिस्थापन के बाद "विरोधी" विकर्ण का एक प्रतिबिंब है (या पूर्ववर्ती) $k\to10-k$ प्रत्येक के लिए $k\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$।