कितने कम $(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$ त्रिकोण एक समबाहु त्रिभुज में विभाजित किया जा सकता है?
इस दूसरी पोस्ट के समानांतर प्रश्न पहले से ही कई उत्तरों के साथ है , इस अर्थ में कि$(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$-स्मिलर त्रिकोण समभुज त्रिभुज (और नियमित षट्भुज) के केवल गैर-तुच्छ परिमेय-कोण का निर्माण करते हैं, संयोजक क्षेत्र के एक वास्तविक संयुग्मन को मापता है (एक उपक्षेत्र $\mathbf{Q}(\zeta_{60})$) जो बीच में बदल जाता है $(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$-सिमिलर त्रिकोण और $(6^\circ,60^\circ,114^\circ)$-सिमिलर त्रिकोण। (संदर्भ: एम। लैक्ज़ोविच की त्रिभुजों की झुकाव ।)
मेरा प्रयास निम्नलिखित रहा है:
जबसे $\sin(42^\circ)$ तथा $\sin(78^\circ)$ कट्टरपंथी नेस्टेड हैं, मैंने अपनी मूल टाइलिंग इकाइयों को केवल तक सीमित करके उनसे छुटकारा पाने की कोशिश की $60^\circ$उलझे हुए समद्विबाहु ट्रेपोज़िड्स और समांतर चतुर्भुज जो त्रिकोणीय टाइलों की एकल पंक्ति हैं। उनके पास फॉर्म का आधार-से-पैर अनुपात है$$m\cdot\frac{9-3\sqrt{5}}{2}+n\cdot\frac{11-3\sqrt{5}}{2}\quad\left(m,n\ge 0\right)$$जो स्वचालित रूप से बीजीय पूर्णांक हैं। इन चतुर्भुज इकाइयों से समबाहु त्रिभुज की कोई भी संभावित टाइलिंग उपरोक्त बीजगणित के कुछ पूर्णांक बहुपद संबंध से संबंधित है, जिसकी बहुपद डिग्री द्विधा में चतुर्भुज टुकड़ों की संख्या के साथ संबंधित है।
दुर्भाग्य से उपरोक्त सभी बीजगणितों में बड़े मानदंड हैं, इसलिए वांछित बहुपद के लिए एक अंधा खोज प्रश्न से बाहर है, और मुझे टुकड़ों के अनुपात को फिर से तर्कसंगत बनाने के लिए कम करना पड़ा। मैं एक खोजने में सक्षम था$60^\circ$छोटे बेस-टू-लेग अनुपात के साथ उलझे हुए समद्विबाहु आघात $10$ का उपयोग कर $79$ टाइल्स, और ए $60^\circ$पड़ोसी पक्ष के अनुपात के साथ उलझे हुए समांतर चतुर्भुज $11$ का उपयोग कर $80$टाइल्स। इस प्रकार कुछ और टाइलें एक उत्पादन करती हैं$60^\circ$-बना हुआ rhombus, और एक और कुछ और टाइल का उत्पादन एक $60^\circ$छोटे बेस-टू-लेग अनुपात के साथ उलझे हुए समद्विबाहु आघात $1$, जिनमें से तीन कुल मिलाकर एक समबाहु त्रिभुज का उपयोग करते हैं $121\,170$त्रिकोणीय टाइलें। जब मैं उस पर था, तो मुझे यह कम संबंधित पोस्ट मिला जिसने मेरी टाइलों की संख्या को सौ हज़ार से थोड़ा कम कर दिया।
इस बीच, मैंने कुछ वैचारिक रूप से सरल विन्यासों के माध्यम से एक त्वरित कंप्यूटर खोज भी की जो लगभग एक से कम का उपयोग करके समबाहु त्रिकोण को टाइल करने का प्रयास करता है। $50$ टाइल्स, और मुझे कुछ भी नहीं मिला।
मुझे यह महसूस हो रहा है कि इस तरह की टाइलिंग के लिए लगभग सौ हजार टाइलें इष्टतम राशि नहीं हैं, इसलिए मैं यह देखने के लिए कह रहा हूं कि क्या लोगों के पास बेहतर विचार हैं। मैं नकद प्रोत्साहन प्रदान करने में असमर्थ हूं जैसा कि समानांतर पोस्ट ने किया था, लेकिन जो कोई भी इस पहेली को आज़माएगा, वह निश्चित रूप से मेरा आभार होगा।
RavenclawPrefect द्वारा सुझाए गए संपादन:
चतुर्भुज टाइलिंग इकाइयों को प्राप्त करने के लिए जो मैंने उपयोग किया था, पहली बात यह है कि जैसा कि मैंने ऊपर उल्लेख किया है, कट्टरपंथी डे-नेस्ट। जैसा$\mathbf{Q}(\zeta_{60})$ गैलोज़ के ऊपर है $\mathbf{Q}(\sqrt{3})$ (यहां आधार क्षेत्र नहीं होना चाहिए $\mathbf{Q}$ लेकिन इसके बजाय समबाहु त्रिभुज के समन्वय क्षेत्र), अगर हम ज्यामितीय रूप से किसी भी लंबाई का निर्माण कर सकते हैं $\ell$ (या सामान्य रूप से, अनुपात $\ell$), ऐसा है कि जब हम एक ही ज्यामितीय निर्माण करते हैं लेकिन सभी के साथ $42^\circ$ कोण और $78^\circ$ कोण एक दूसरे के साथ अदला-बदली करते हैं, हम अभी भी समान रूप से निर्माण करते हैं $\ell$, तो यह है कि धारण करना चाहिए $\ell\in\mathbf{Q}(\sqrt{5})$, ताकि $\ell$ किसी भी नेस्टेड कण शामिल नहीं है।
वहाँ पर विचारों के एक जोड़े थे क्या $\ell$विशेष रूप से होना चाहिए, उनमें से अधिकांश समानांतर विचार हैं जो सभी वर्ग के लिए समानांतर प्रश्न में पाए जा सकते हैं। मैं ऊपर ही बस गया$\mathbf{Q}(\sqrt{5})$-quadrilaterals (जो कि त्रिकोणीय टाइल की एक पंक्ति हैं) क्योंकि उनके पास दूसरों के बीच सबसे छोटा अंश मानदंड था। एक गैर-उदाहरण के रूप में, एक डबल-डेकर विचार का उपयोग करना था$9$ टाइल्स जिसके परिणामस्वरूप एक ट्रेपोजॉइड था जिसके अनुपात में एक से अधिक मल्टीपल थे $889-321\sqrt{5}$, हाँ। कुछ गैर-तुच्छता भी थी जिस तरह से एकल पंक्ति में डालते समय त्रिकोण को उन्मुख किया जाना चाहिए, लेकिन कुछ और गणनाओं से पता चला कि उपरोक्त$(m,n)$फ़ॉर्म हम वास्तव में प्राप्त कर रहे हैं। अधिक सटीक रूप से, एक ट्रेपोज़ॉइड भी नहीं हो सकता है$m=0$, और एक समांतर चतुर्भुज भी नहीं हो सकता है $n=0$।
उस सभी काम के बाद, बाकी वास्तव में परीक्षण और त्रुटि का मामला रहा है। सभी के बीच$(m,n)$ फार्म, मैंने सबसे छोटे मानदंड के साथ एक समांतर चतुर्भुज चुना, जो कि ए $(m,n)=(0,1)$ समांतर चतुर्भुज के साथ $4$ टाइल्स, और इसे घुमाया ताकि यह एक हो जाए $\frac{11+3\sqrt{5}}{38}$-पारलोग्राम। फिर$19$ उन में से एक बनाते हैं $\frac{11+3\sqrt{5}}{2}$-पारेलोग्राम के साथ $76$ टाइल्स, और जाहिर है मैंने इसे एक को मिला दिया $(1,0)$-ट्रैपेज़ॉइड और ए $(0,1)$-पारघात चतुर्भुज को प्राप्त करने के लिए समानांतर चतुर्भुज।
तो यह प्रक्रिया अधिक थी जैसे "मैं स्पष्ट रूप से नहीं जानता कि क्या करना है" इसके बजाय "मैं संभावित सरलीकरण देखता हूं लेकिन मुझे इष्टतम नहीं पता है"। यह भी है कि मैं पूरी तरह से नए विचारों (ऊपर देखें) की तलाश कर रहा हूं जो वर्ग के बारे में समानांतर प्रश्न में नहीं मिले हैं।
RavenclawPrefect ने एक अच्छी तरह से प्रेरित प्रश्न के लिए भी पूछा कि क्या एक ही टाइलिंग का प्रदर्शन किया जा सकता है लेकिन अनुरूप टाइलों के साथ। एम। लैक्ज़ोविच ने साबित कर दिया कि बाद के पेपर में कॉनवेक्स पॉलीगन्स ऑफ कॉनग्रेंट ट्रायंगल के साथ यह असंभव है ।
जवाब
मैं इस प्रश्न का नया उत्तर पोस्ट कर रहा हूं, क्योंकि मैं जिन तकनीकों का उपयोग कर रहा हूं, वे पिछले उत्तर से काफी भिन्न हैं और यह पहले से ही काफी लंबा हो रहा था। (इस उत्तर का अधिकांश हिस्सा एंडर्स के उत्कृष्ट उत्तर से पहले लिखा गया था, इसलिए यह वहां कुछ जमीन को हटा देता है।)
के साथ शुरू करने के लिए, मैं ओपी में उल्लिखित निर्माणों को बेहतर बनाना चाहता हूं, जैसा कि मैंने इन आरेखों को मददगार पाया। अनुपात के एक समांतर चतुर्भुज को परिभाषित करें$r$ पक्षों के साथ एक के रूप में $1,r,1,r$ चक्रीय क्रम में, और अनुपात का एक जाल $r$ पक्षों के साथ एक के रूप में $1,r,1,r+1$चक्रीय क्रम में। (मैं अनुमान लगाऊंगा कि सब कुछ है$60^\circ$ तथा $120^\circ$ कोण और यह कि सभी ट्रेपोज़ोज़ समद्विबाहु हैं जब तक कि अन्यथा न कहा जाए।)
यहाँ अनुपात का समद्विबाहु समलम्ब है $\frac{9-3\sqrt{5}}2$ तीन से बनाया $\color{blue}{42}-\color{green}{60}-\color{red}{78}$ त्रिभुज:
यहाँ एक अनुपात का समांतर चतुर्भुज है $1$ बड़े (एक ही आधार के साथ) चार ऐसे त्रिभुजों से बना है:
(ध्यान दें कि यह पिछले निर्माण में एक त्रिकोण जोड़कर नहीं दिया गया है! नीचे के तीन बिंदु एक ही स्थान पर हैं, हालांकि)।
जैसा कि एडवर्ड एच देखते हैं, हम वास्तव में ऊपर के दो समांतर चतुर्भुज का विस्तार कर सकते हैं।$60$एक किनारे के बीच -Degree समानांतर चतुर्भुज जहां केवल लाल और नीले कोण मिलते हैं; यह हमें खर्च करने देता है$2$ ट्रेपोज़िड्स और अनुपात के समानांतर चतुर्भुज बनाने के लिए अधिक त्रिकोण $\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$ अधिक।
अब, कुछ अवलोकन:
अनुपात का एक समांतर चतुर्भुज $r$ अनुपात का एक समांतर चतुर्भुज भी है $1/r$: बस इसे अपनी तरफ मोड़ो!
अनुपात के दो समांतर चतुर्भुज दिए $r,s$, हम अनुपात के एक समानांतर चतुर्भुज प्राप्त करने के लिए उन्हें एक साथ रख सकते हैं $r+s$।
अनुपात के एक समरूपता को देखते हुए $r$ और अनुपात का एक समांतर चतुर्भुज $s$, हम उन्हें एक साथ रखने के लिए अनुपात का एक त्रिज्या प्राप्त कर सकते हैं $r+s$।
अनुपातों के दो ट्रेपोज़ोइड्स को देखते हुए $r,s$, हम उनमें से एक को उल्टा कर सकते हैं और फिर उन्हें एक समान अनुपात के समानांतर ले जा सकते हैं $r+s+1$ (क्योंकि शीर्ष पक्ष नीचे की ओर से एक इकाई छोटा है)।
अनुपातों के दो ट्रेपोज़ोइड्स को देखते हुए $r,s$, हम अनुपात का एक समांतरभुज प्राप्त करने के लिए एक के ऊपर एक रख सकते हैं $rs/(r+s+1)$।
यह हमें एक स्पष्ट रास्ता देता है: हमारे दो बुनियादी ट्रेपोज़ॉइड और समांतर चतुर्भुज समाधानों (साथ ही उनके एक्सटेंशन) के साथ शुरू करें, फिर उन्हें उपरोक्त तरीकों से मिलाएं जब तक कि हम अच्छी तरह से सेट नहीं हो जाते तब तक अच्छा तर्कसंगत-अनुपात वाले ट्रेपोज़ोइड और समांतर चतुर्भुज के छोटे झुकावों की तलाश कर सकते हैं। एक समबाहु त्रिभुज को भरें।
के तत्वों के साथ सटीक गणना करने के लिए मैंने कुछ कोड लिखे $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, और सभी ट्रेपोज़ोइड और समांतर चतुर्भुज का भंडारण करना शुरू कर दिया, जो चारों ओर तक बना सकता है $70$त्रिकोण, लेकिन खोज स्थान को हाथ से बाहर निकलने से रोकने के लिए शामिल तर्कसंगत संख्याओं के आकार को बाध्य करना। (यदि मेरे पास अनुपात का समांतर चतुर्भुज है$1173/292-46\sqrt{5}/377$, मैं शायद इसे समाप्त करने की आवश्यकता नहीं है।)
यह अकेले बहुत सारे तर्कसंगत-अनुपात आकृतियों को नहीं बदलता है, इसलिए मैंने एक दूसरी स्क्रिप्ट चलाई जो उन सभी के बीच पिछले पुनरावृत्ति में उत्पन्न आकृतियों की जाँच की जिनके अपरिमेय भाग एक दूसरे के नकारात्मक थे, और उन्हें नए में संयोजित किया, तर्कसंगत-अनुपात आकार।
इस खोज के परिणामों में कई दिलचस्प निर्माण शामिल थे, जिसमें यूनिट अनुपात के एक समांतर चतुर्भुज के लिए एंडर्स कासोर्ग का 72-त्रिकोण समाधान शामिल है, लेकिन हमारे उद्देश्यों के लिए हम उनमें से दो पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं: $94$-टाइल ट्रेपोजॉइड ऑफ अनुपात $12/5$, और ए $100$-टाइल ट्रेपोजॉइड ऑफ अनुपात $17/7$।
यदि एक दूसरे के ऊपर रखा जाता है, तो पहले ट्रेपेज़ॉइड का तल दूसरे के शीर्ष के साथ मेल खाता है, वे एक ट्रेपोज़ॉइड बनाते हैं $194$ त्रिकोण जिसका निचला आधार इसके शीर्ष आधार का दोगुना है - वास्तव में हमारा लक्ष्य है।
पूर्ण निर्माण दिखाने के लिए, यहाँ सभी हैं $3\cdot(94+100)=\textbf{582}$ एक टुकड़े में त्रिकोण:
ओपी से, मैं इस तथ्य का उपयोग कर रहा हूं कि हम उपयोग कर सकते हैं $79$ एक लंबाई के साथ एक ट्रेपोजॉइड को टाइल करने के लिए त्रिकोण $11,1,10,1$ और कोण $60$ तथा $120$ डिग्री, साथ ही पार्श्व लंबाई के साथ समांतर चतुर्भुज $1$ तथा $11$ साथ से $80$त्रिभुज। इसका मतलब है कि हम एक "हीरे" (दो किनारे से जुड़े समबाहु त्रिकोणों का मिलन) का उपयोग करके टाइल लगा सकते हैं$11\cdot80=880$ त्रिभुज।
फिर हम इन सभी टुकड़ों को एक त्रिकोणीय ग्रिड पर फिट कर सकते हैं: ट्रेपेज़ॉइड ऊपर ले जाता है $21$ त्रिकोण, स्कीनी समांतर चतुर्भुज $22$, और हीरे के आकार का क्षेत्र है $2$(लेकिन एक बड़ी कीमत पर)। बेशक, उनमें से किसी को कुछ पूर्णांक कारक द्वारा बढ़ाया जा सकता है और फिर भी ग्रिड पर झूठ हो सकता है।
कुछ कोड का उपयोग करके मैंने टाइलिंग की समस्याओं और कुछ मैनुअल संशोधनों को हल करने के लिए लिखा है, मैंने बेस-टू-लेग अनुपात के साथ एक समद्विबाहु ट्रेपोजॉइड की निम्नलिखित पैकिंग को पाया है। $1$ (इस मामले में, एक कारक द्वारा त्रिकोणीय ग्रिड पर बढ़ाया गया है $12$ प्रत्येक आयाम में):
यह उपयोगकर्ता है $12$ trapezoids और $19$हीरे (विभिन्न आकारों के उत्तरार्द्ध)। इस प्रकार, इस आकृति की तीन प्रतियों के साथ एक समबाहु त्रिभुज को खंगालेंगे$3\cdot(12\cdot79+19\cdot880)=\textbf{53004}$ टाइल्स।
निकार्ड द्वारा संपादित करें :
एक ही ट्रेपेज़ॉइड के छोटे टाइलिंग का उपयोग करके$10$ लंबे ट्रेपोज़ोइड्स और $12$ हीरे।
$3\cdot(10\cdot79+12\cdot880)=\textbf{34050}$ टाइल्स।
(संपादन का अंत)
EDIT (RavenclawPrefect): मैंने टाइल के समांतर चतुर्भुज के कुछ बेहतर तरीके खोजे हैं, जिनका उपयोग संख्या को कम करने के लिए निकार्ड के समाधान के साथ किया जा सकता है।
यहाँ एक की एक टाइलिंग है $1\times 2$ सात के साथ समांतर चतुर्भुज $1\times 11$ समांतर चतुर्भुज (इसके विपरीत $22$ यह एक साथ दो rhombi में शामिल होने से लगेगा):
सामान्य तौर पर, कोई एक टाइल कर सकता है $1\times n$ के लिए समांतर चतुर्भुज $n=1,\ldots,9$ साथ से $11,7,6,6,6,6,6,6,7$पतली समानताएं; इन मूल्यों को एक के एक tiling लेने से उत्पन्न होती हैं$11\times n$वर्गों द्वारा आयत ( OEIS पर A219158 देखें ) और एक उपयुक्त शव परिवर्तन लागू करना।
के लिए $1\times 7$, का उपयोग कर $6$ पतली समानताएं हमें देती हैं $6\cdot 80$, लेकिन हम भी उपयोग कर सकते हैं $6$ इस उत्तर पर एडवर्ड एच की टिप्पणी में वर्णित ट्रेपोज़िड्स $6\cdot 79$ टाइलें, जो थोड़ा सुधार प्रदान करती हैं।
इन अधिक कुशल पैकिंगों का उपयोग करते हुए, मैं निकार्ड के उत्तर में "सीढ़ी" आकार भर सकता हूं:
यह कुल का उपयोग करता है $4874$ सीढ़ी में टाइल, $4874+10\cdot79 = 5664$ ट्रेपोज़ॉइड में, और $\textbf{16992}$ त्रिकोण में।
2 संपादित करें (RavenclawPrefect): बहुत सी धुरी-संरेखित समांतर चतुर्भुज में "सीढ़ी" आकार को विघटित करने के साथ बहुत सी चक्कर लगाने के बाद, मैंने महसूस किया कि मैं सिर्फ एक परिवेष परिवर्तन लागू कर सकता हूं, पूरे सीढ़ी को आकार के बहुत लम्बे पॉलोमिनो में बदल दिया।${10\choose 2}\cdot 11=495$ ऊंचाई के "कदम" के साथ $11$, और सीधे वर्ग के साथ परिणामी चीज को टाइल करने का प्रयास करें।
यह एक बेहतर सुधार के साथ एक tiling दे रहा है $46$ वर्ग (इसलिए, $1\times 11$समांतर चतुर्भुज एक बार वापस आ गए); परिणामी छवि इसकी ऊंचाई के कारण अच्छी तरह से एम्बेड नहीं होगी, लेकिन मैंने इसे यहाँ imgur पर अपलोड किया है । अपडेट: मैंने इस टाइलिंग को थोड़ा सुधार दिया है$45$-समारोह समाधान, यहां देखा गया ।
इसका परिणाम यह होगा $3\cdot(45\cdot80+10\cdot79)=\textbf{13170}$ टाइल्स।
इसे बेहतर बनाने के तरीके:
इसकी बेहतर पैकिंग के लिए कोशिश की जा रही है $495$-दो वर्गों द्वारा - मेरी खोज संपूर्ण नहीं थी, और मुझे लगता है कि कम से कम एक है $30\%$ मौका यह अधिक कुशलता से टाइल किया जा सकता है।
इन तरीकों के साथ कुछ ट्रेपोज़ॉइड या समबाहु त्रिभुज की बेहतर पैकिंग ढूँढना - मैंने निश्चित रूप से चीजों को उतना अनुकूलित नहीं किया है जितना मैं कर सकता था।
इस टाइलिंग में उपयोग किए गए या तो बीज के आकार का एक अधिक कुशल "आधार" पैकिंग, या नए अपेक्षाकृत सरल पॉलीमायड उत्पन्न करना जो कुशलता से उपयोग किया जा सकता है $42-60-78$ त्रिभुज।
यहाँ अनुपात का एक समरूपता है $1$ द्वारा टाइल किया गया $195$त्रिकोण, एक जानवर बल खोज में पाया। एक समबाहु त्रिभुज के निर्माण के लिए इनमें से तीन का उपयोग करना$3 \cdot 195 = \mathbf{585}$ त्रिभुज।
पुराना उत्तर
यह मूल $60^\circ$ ट्रेपोजॉइड का अनुपात $\frac{9 - 3\sqrt 5}{2}$ तीन त्रिकोण का उपयोग करता है, और यह बुनियादी $60^\circ$ अनुपात का समांतर चतुर्भुज $\frac{11 - 3\sqrt 5}{2}$ चार त्रिकोण का उपयोग करता है:
कोई संख्या $r \in \mathbb Q[\sqrt 5]$ के रूप में विघटित किया जा सकता है $r = \frac{11 - 3\sqrt 5}{2}u + \frac{2}{11 - 3\sqrt 5}v$ साथ से $u, v \in \mathbb Q$। अगर$u, v \ge 0$, तब हम अनुपात के एक समांतर चतुर्भुज को टाइल कर सकते हैं $r$ अनुपात के आयतों के झुकाव के संयोजी परिवर्तनों के संयोजन से मूल समांतर चतुर्भुज का उपयोग करना $u$ तथा $v$वर्गों का उपयोग करना। उदाहरण के लिए, यहां अनुपात का 72-त्रिकोण समांतर चतुर्भुज है$1 = \frac{11 - 3\sqrt 5}{2}\cdot\frac{1}{11} + \frac{2}{11 - 3\sqrt 5}\cdot\frac{19}{11}$, वर्ग झुकाव से प्राप्त होता है $1 × 11$ तथा $19 × 11$ आयतें।
"सीढ़ी" निर्माण के एक संस्करण में इस विचार का उपयोग करने से अनुपात के ट्रेपोजॉइड के अधिक कुशल झुकाव प्राप्त होते हैं $1$। यहाँ एक के साथ है$45 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 44 \cdot 4 = 386$त्रिभुज। (मैं अब एक गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम का उपयोग कर रहा हूं जो हरे रंग के क्षेत्र और नीले क्षेत्र को एक-एक करके पास करता है बजाय कि उन्हें पार्सलोग्राम में ढालने के। स्पष्टता के लिए, तीन या चार त्रिकोणों में बुनियादी ट्रेपेज़ोइड्स / समानांतर चतुर्भुजों के विभाजनों का चित्रण नहीं किया जाता है।)
एक समबाहु त्रिभुज के निर्माण के लिए इनमें से तीन का उपयोग करना $3 \cdot 386 = \mathbf{1158}$ त्रिभुज।
संभवतः समबाहु त्रिभुज से कम संख्या में बुनियादी ट्रेपोज़िड्स की एक छोटी संख्या को काटकर एक और अधिक कुशल टाइलिंग का निर्माण किया जा सकता है, जब तक कि एक एकल समानांतर चतुर्भुज बनी रहती है, तब तक इसके अनुपात के लिए हल किया जाता है $r \in \mathbb Q[\sqrt 5]$, और उपरोक्त आयत-टाइलिंग निर्माण को एक बार लागू करना। ऐसा करने का तरीका खोजना$u, v \ge 0$ यद्यपि मुझे उम्मीद थी कि तुलना में मुश्किल है।