क्षेत्र में सबसे अधिक त्रिभुज $\frac{7}{12}$।

Question

मान लीजिए कि हैं $75$एक यूनिट क्यूब के अंदर के बिंदु जैसे कि कोई तीन बिंदु सह-रैखिक नहीं हैं। साबित करें कि ऊपर दिए गए लोगों में से तीन बिंदुओं को चुनना संभव है, जो उस क्षेत्र के साथ एक त्रिकोण बनाते हैं$\frac{7}{12}$। इन दिए गए आंकड़ों से त्रिभुज का क्षेत्रफल प्राप्त करना कैसे संभव है? कृपया मदद करे। अग्रिम में धन्यवाद।

Answer 1

यूनिट क्यूब को 27 क्यूब्स आकार में विभाजित करें $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$।

कबूतर सिद्धांत द्वारा, इन क्यूब्स में से एक में 75 में से 3 अंक हैं। दी गई स्थिति से, इन बिंदुओं का मेल नहीं होता है। इसलिए वे एक त्रिकोण बनाते हैं

भुजा के घन में $a$एक त्रिकोण का अधिकतम क्षेत्र जो इसमें फिट हो सकता है $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$।

पक्ष के लिए $\frac{1}{3}$, यह है $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

इसलिए, इन तीन बिंदुओं से कम क्षेत्रफल का एक त्रिकोण बनता है $\frac{7}{12}$

Answer 2

अंक चुनें $(0,0,0)$ तथा $(1,1,z)$ तथा $(1,1,0)$। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल है$\frac{z}{\sqrt 2}$।

अब चुनें $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

शेष 72 बिंदुओं को रखने के अनंत तरीके हैं, इसलिए यह सुनिश्चित करने के तरीके मौजूद हैं कि कोई भी 3 अंक गैर-कॉलिनियर नहीं हैं।

उदाहरण के लिए शेष बिंदु विमान में झूठ हो सकते हैं $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ और एक गोलाकार आकृति बनाते हैं।